Puede el Banach-Tarski Paradoja podría ser extendido a un número arbitrario de duplicaciones?

Question

En esta pregunta, hace poco me preguntó si había libre subgrupos de grado 3 o superior del grupo de rotaciones en $\mathbb{R}^3$. A partir de las respuestas, se sigue que cualquier subgrupo de clasificación 2 admite subgrupos de arbitrario contables rango.

Mi pregunta ahora es si esto puede ser utilizado para ampliar la Banach-Tarski Paradoja para demostrar que la esfera no sólo puede ser duplicado (aprovechando el subgrupo de rotaciones de rango 2), pero puede ser hecho en la forma de producir $n$ copias mediante un número finito de subconjuntos disjuntos de la unidad original de la esfera (aprovechando un subgrupo de rotaciones de rango $n$). Todo lo que he visto en este sentido es volver a la aplicación de la declaración original $n$ veces en el fin de crear $n$ esferas, pero parece que podría ser creado a todos a la vez utilizando una subgrupo de clasificación $n$, correcto?

Answer 1

Esta pregunta se contesta en la afirmativa en el Capítulo 6 de Stan Vagón del libro en el Banach-Tarski Paradoja, "Libre de Grupos de Gran Rango: Conseguir una Continuidad de las Esferas de Uno".

El uso de la libre subgrupos de clasificación $n$ (de un grupo libre de rango 2), se puede extender BT a $n$ copias a la vez.

Además, como se señala en los comentarios de la cuarta pregunta, se puede utilizar el hecho de que un grupo libre de rango 2 tiene un subgrupo de countably infinito rango para producir un countably número infinito de copias de la original de la esfera.

Por otra parte, es posible producir copias de la pelota con la cardinalidad del continuo, aunque no entiendo el desarrollo presentado en el texto lo suficientemente bien como para resumirlo aquí.