Es una curiosidad pasajera, y no he encontrado ningún duplicado, así que he pensado en compartir mi opinión.
En la prueba más básica (o al menos la más famosa) de la infinitud de los números primos, debida a Euclides, tenemos un conjunto finito $\mathcal{P}_n = \{ p_1, \dots, p_n \}$ de los números primos y observe que $p_1 \cdots p_n + 1$ debe tener un factor primo que no esté en $\mathcal{P}_n$ . (De hecho, no hay factores primos de $p_1 \cdots p_n + 1$ mienten en $\mathcal{P}_n$ .)
Supongamos que establecemos $p_1=2$ y, dado $\mathcal{P}_n$ elegimos $p_{n+1}$ para ser el primo más pequeño que divide a $p_1 \cdots p_n + 1$ . Estoy interesado en saber cuántos primos son recogidos por este algoritmo.
En concreto, para cada $n$ dejar $m_n$ sea el mayor primo de $\mathcal{P}_n$ y supongamos que $m_n$ es el $k_n^{\text{th}}$ más pequeño de los primos. Estoy interesado en encontrar el comportamiento asintótico de $k_n$ como $n \to \infty$ . Por ejemplo, $\dfrac{n}{k_n}$ es la proporción de primos menores que el mayor primo elegido hasta el momento que se contabilizan después de $n$ se han escogido primos.
He aquí algunos valores:
$$\begin{array}{c|c|c|c} n & p_n & m_n & k_n \\ \hline 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2 \\ 3 & 7 & 7 & 4 \\ 4 & 43 & 43 & 14 \\ 5 & 13 & 43 & 14 \\ 6 & 53 & 53 & 16 \\ 7 & 5 & 53 & 16 \\ 8 & 6221671 & 6221671 & \approx 397715 \end{array}$$
Soy consciente de que $k_n \sim \dfrac{m_n}{\log m_n}$ como $n \to \infty$ Así que sabiendo cómo $m_n$ crece con $n$ también podría servir. Sospecho que crece bastante rápido.
Otra cosa que me da curiosidad es si todos los primos aparecen como $p_n$ para algunos $n$ .
Editar: Ahora sé que es un problema abierto averiguar si cada primo aparece como algún $p_n$ (he aceptado la respuesta de Pantelis pro tem), y que apenas conocemos términos de la secuencia $(p_n)$ pero me interesa saber si se ha avanzado en la comprensión del comportamiento asintótico de estas secuencias. Al fin y al cabo, ¡entendemos el comportamiento asintótico de la secuencia de primos!
