Teorema del gráfico cerrado en topología

Question

Teorema Un mapa $\phi$ mapea un espacio topológico $X$ a otro $Y$ , donde $X$ es Hausdorff, $Y$ es compacto y el gráfico de $\phi$ está cerrado. Entonces $\phi$ es continua.

¿Es realmente necesario incluir la condición de que $X$ es Hausdorff? Como no veo ninguna razón, y parece que tengo una prueba sin usar la condición, me gustaría saber la respuesta.

Una prueba:
Para cualquier subespacio cerrado $C$ de $Y$ la imagen previa $D$ debería estar cerrado. Para cualquier elemento $a$ en el complemento de $D$ podemos utilizar la compacidad para demostrar que existe un número finito de conjuntos abiertos en $Y$ tal que la unión de ellos cubre el C, y entonces los correspondientes conjuntos abiertos en $X$ es una vecindad abierta de $a$ que tiene una intersección vacía con $D$ Así que $D$ está cerrado.
P.D. en la demostración, esos conjuntos abiertos se obtienen por la condición de que el gráfico sea cerrado y que $(a,c)$ no está en el gráfico para ningún $c$ en $C$ .

Answer 1

No se necesita Hausdorffness en $X$ . Sea $\pi$ sea la proyección de $X \times Y$ en $X$ . Como $Y$ es compacto (sólo necesitamos que sea compacto, no Hausdorff) el mapa $\pi$ está cerrado. Ver aquí o aquí Por ejemplo, se debe a Kuratowski, creo.

Ahora, si $f: X \mapsto Y$ tiene la propiedad de que su gráfico $G_f = \{ (x,f(x)) \mid x \in X \}$ está cerrado en $X \times Y$ y $Y$ es compacto, entonces $f$ es continua: dejemos que $C$ sea un subconjunto cerrado de $Y$ . Entonces $$f^{-1}[C] = \pi[(X \times C) \cap G_f]$$ y como $X \times C$ está cerrado en $X \times Y$ y también lo es $G_f$ hemos escrito $f^{-1}[C]$ como la imagen de un conjunto cerrado bajo un mapa cerrado, por lo tanto es cerrado. Como $C$ era arbitrario, $f$ es continua (la imagen inversa de cerrada es cerrada).

Así que no necesitamos ningún axioma de separación.