Un continuo bijection de $l_2 $ a un subconjunto de a $l_2$ cuya inversa es en todas partes discontinuo.

Question

Estaba leyendo un artículo de AMM, titulado,

Un continuo bijection de $l_2 $ a un subconjunto de a $l_2$ cuya inversa es en todas partes discontinuo.

En este construyó la función de $T:l_2\rightarrow l_1$ $T(x)=$$(\sigma(x_1)x_1^2, \cdots,\sigma(x_i)x_i^2, \cdots )$

Y muestra que esta función sea bijective, continua cuya inversa es en todas partes discontinuo.

Mi pregunta es, ¿Cuál es la motivación detrás de este ejemplo? ¿Por qué el autor encontrar este ejemplo? ¿Cuál es la importancia de este ejemplo?

Answer 1

Topológico punto de vista. Cualquier continua bijection entre compacta Huasdorff espacios es un homeomorphism, que es su inversa es continua. Este ejemplo muestra que la compacidad condición no puede ser disminuido. Autor muestra el ejemplo de la necesidad de compacidad en un sentido fuerte, porque el inverso de a $T$ no es meramente discontinuo, su por todas partes discontinuo.

Funcional analítica punto de vista. Por delimitada inverso del teorema de la continuidad lineal bijection entre espacios de Banach es lineal homeomorphism. De nuevo, el autor muestra el ejemplo de la necesidad de linealidad en ese teorema, de lo contrario se puede obtener la inversa de mapa que es discontinuo (y aún más - discontinua en todos los puntos).