Clases de conjuntos y de la paradoja de Russell

Question

Como yo lo entiendo, de la paradoja de Russell demuestra que no todos los de la clase puede ser considerada como un conjunto. Él define $$S:=\{x: x \text{ is a set such that }x\notin x\}$$ Suponiendo que $S$ es un conjunto, esto le da una contradicción. Sin embargo, si en la definición anterior podemos reemplazar "set" por "clase", nos encontramos con que $S$ no puede ser una clase. En otras palabras, la paradoja puede ser utilizado para cualquier estructura, no solo establece.

Mi (ingenuo) se entiende que un conjunto puede ser identificado como un único objeto, mientras que no es necesariamente cierto para las clases, que puede ser cualquier colección de objetos. Si que es cierto, es que en la definición anterior, no podemos decir cosas como "$x$ es una clase tal que...", ya que identifica la clase como un único objeto $x$. Que parece resolver mi confusión, pero me vi en los libros de frases como "Vamos a $A$ $B$ clases de...", que me confundan más, ya que de nuevo se refieren a las clases (que no son necesariamente los conjuntos como objetos individuales $A$$B$.

Seguramente mi razonamiento es incorrecto. Lo que me estoy perdiendo? ¿Cuál es la diferencia entre una clase y un conjunto?

Answer 1

Hay un montón de maneras para pintar los detalles finos, pero el trazo grueso es:

• Un conjunto puede ser un miembro de una clase
• Una clase adecuada no puede ser un miembro de una clase

Cuando se utiliza la clase-generador de notación, como en $\{ x \mid x \notin x \}$, la notación es sólo significativa al $x$ cuantifica sobre los conjuntos (o alguna subclase de la misma).

Con el fin de hablar de las colecciones de clases, tendría que apelar a algunos de los más altos de objetos, a los que podríamos llamar un 2-clase. Y para hablar de las colecciones de 2 clases, tendría un 3-clase, y así sucesivamente.

Por ejemplo, una manera de hacer que todo esto es preciso por el aumento de la lógica de orden. Tal como se aplica a ZFC, conjuntos serían los elementos de la teoría, las clases serían (de primer orden) de los predicados en conjuntos de 2 clases serían predicados de segundo orden, y así sucesivamente.

Answer 2

En ZF teoría de conjuntos, un conjunto es un elemento de un modelo de ZF, que es una colección de cosas, junto con una relación llamada $\in$ entre ellos la satisfacción de los axiomas de ZF. Las clases no son directamente discutido por los axiomas, pero se puede describir como en las clases de primer orden fórmulas que describe una propiedad de un conjunto puede tener. Por ejemplo, la propiedad correspondiente a la clase en la paradoja de Russell es $x \not \in x$, y el de la propiedad correspondiente a la clase de todos los conjuntos es $\top$ (true).

Dado un primer orden de la propiedad se puede preguntar si existe un conjunto $S$ tal que $x \in S$ si y sólo si $x$ tiene esa propiedad. La respuesta es que a veces sí y a veces no; tanto de las propiedades anteriores no es en ZF debido a que el axioma de regularidad. Y desde el primer orden de las fórmulas que describen las propiedades de los conjuntos sólo puede referirse a los conjuntos y no a las clases, no es posible ejecutar el mismo argumento directamente para las clases en ZF; es decir, no hay ninguna manera de hablar directamente acerca de las clases internas a ZF.

Answer 3

En un sistema como el de MK (Morse-Kelley) la teoría de conjuntos donde hay dos clases, la intención de ser uno de los conjuntos y uno para las clases en general, podemos construir (como un objeto en el sistema) cualquier clase de la forma $\{ x : Set(x) \land φ(x) \}$ donde $Set$ es el predicado correspondiente a la ordenación prevista para los conjuntos. Entonces es posible demostrar que este objeto no es un conjunto, a través de Russell de la prueba. Es decir, en el MK usted sería capaz de demostrar el siguiente frase:

$\neg Set(\{ x : Set(x) \land x \notin x \})$.

Tenga en cuenta que no es suficiente tener el predicado $Class$ correspondiente a la ordenación prevista para las clases, porque en el MK tenemos esencialmente que $\forall x\ ( Class(x) )$.

En la práctica cuando se trabaja en MC decimos "$x$ es un conjunto" para significar "$Set(x)$" y "$x$ es una clase" media "$Class(x)$", que acabamos de mencionar es totalmente redundante, ya que todo es una clase en MK. Bueno, ¿por qué la gente todavía dice, entonces? Es porque la mayoría de los trabajos matemáticos en realidad se basa en algún tipo informal de la teoría (ver este artículo de De Bruijn y este libro), y por lo que pensamos de cada objeto, en realidad, tienen un tipo, en lugar de ser un conjunto o clase!

Ahora si quieres trabajar en ZFC completamente, entonces usted no puede hablar acerca de las clases de la misma manera, ya que no son ni siquiera los objetos en el sistema. En ZFC, sólo podemos definir clases en el sentido limitado que podemos definir un nuevo predicado-símbolos, si nuestro sistema es compatible con definitorial de expansión. Así que el Russell clase no existe como un objeto en el sistema, pero podemos definir el predicado-símbolo $Russell$ como sigue:

Deje $Russell$ $1$- lugar predicado que $\forall x\ ( Russell(x) \equiv x \notin x )$.

Ser un predicado-símbolo en lugar de una colección, no tiene sentido preguntar si $Russell$ es un miembro de sí misma. Asimismo, en ZFC "$x \in S$" al $S$ es una clase debe ser considerado como azúcar sintáctico para "$S(x)$". Ese es el sentido preciso en el que podemos manejar clases en pura ZFC. De forma similar, utilizando definitorial de expansión podemos manejar la clase de funciones, debido a que la definición de las cantidades a definir la nueva función de los símbolos. Por ejemplo, en ZFC el poder establecido de la función de símbolo "$\mathcal{P}$" no es una función sino una clase de función.