Un anillo finito es un campo si sus unidades $\cup\ \{0\}$ comprenden un campo de característica de $\ne 2$

Question

Supongamos que $R$ es finito anillo (anillo conmutativo con 1$$) de la característica de $3$ y supongamos que para cada unidad $u \R\:,\ 1+u\ $ es también una unidad o $0$. Necesitamos demostrar que $R$ es un campo. Esto es cierto si ${\rm char}(R) > 3$?

Aquí es lo que intentó hacer. $\:$ Primero, $\:$ me di cuenta de que la afirmación no es verdadera si $\ R\ $ es infinita ($\mathbb F_3[x]$ es un ejemplo de un infinito anillo, que no es un campo, pero que satisface todas las propiedades requeridas). Ahora, en un número finito de anillo, un elemento no nulo es una unidad o un $\:0\:$ divisor, por lo que traté de mostrar que $R$ no $\:0\:$ divisores. Claramente, $R$ no tiene un valor distinto de cero nilpotent elementos (si $x$ es nilpotent, entonces $1+x$ es una unidad, pero luego $1+(1+x)$ y $1+(2+x)$ es una unidad o $\:0\:.\:$ Por lo tanto $x$ es una unidad o $\:0\:,\:$ y puesto que $x$ es nilpotent, no puede ser una unidad, por lo que debemos tener $x = 0$). Pero esto no resuelve el problema, ya que $R$ pudieran tener los elementos de $\:0\:$ divisores pero no nilpotent (por ejemplo, $\ (1,0)\ $$\: 0\:$ divisor en $\ \mathbb Z/3\:\mathbb Z \times \mathbb Z/3\:\mathbb Z\ $ pero no es nilpotent).

Otra observación que he hecho es que el conjunto de las unidades, junto con los $\:0\:$ forma un grupo bajo la suma, por lo que $J = R^{*}$, junto con los $\:0\:$ es un sub-anillo de $R$. por lo tanto podemos ver $R$ $J$-módulo (y desde $J$ es claramente un campo, $R$ es un $J$-espacio vectorial).

Otra cosa que he intentado es demostrar que $R$ ha no trivial ideales. Visualización de $R$ y $J$ como abelian grupos, me di cuenta de que no trivial ideal de $R$ puede contener más de un elemento de cada uno coset de $J$ en $R$, ya que si un ideal contiene dos elementos distintos de la misma coset de $J$ en $R$, este ideal tendría que contener su diferencia, por lo que tendría que contener una unidad, por lo tanto no sería correcto ideal. Pero de nuevo, no veo cómo esta observación conduce a una solución.

Como para la última parte, sospecho que esta declaración sigue siendo cierto si ${\rm char}(R) > 3$. Desde $1$ es una unidad, se sigue que $1,2,3,\ldots$ son, ya sea en unidades o $0$, lo cual sólo puede ocurrir si ${\rm char}(R) = p$, un número primo (y sospecho que $R$ tendrá que ser un campo finito), pero de nuevo no veo cómo demostrar (o refutar) la presente.

Por cierto, esta no es una tarea problema. Estoy estudiando álgebra en el mío propio, y después de pensarlo un par de días y hacer las observaciones que se enumeran más arriba, todavía no veo cómo terminar la prueba. Agradecería sus sugerencias. Gracias de antemano.

Answer 1

El mapa de $f: x\rightarrow {x^3}$ es un homomorphism de $R$ $R$. El núcleo de $f$ es $\{0\}$ porque $x^3=0$ implica $(x-1)^3=-1$, lo que significa que $x-1$ es una unidad, por lo tanto $x$ es una unidad o cero, de ahí que $x=0$. Por lo que $f$ es de 1-1, y, desde $R$ es finito, por lo tanto, un automorphism de $R$.

A continuación, debe haber una $n>0$ tal que $f^n$ es la identidad, que es: $x^{3^n}=x$ para todo $x\in{R}$

Se asume que $r$ no es una unidad, y dejar $s=r^{3^n-1}+1$. Un rápido cálculo muestra que $s^2=1$, entonces $s$ debe ser una unidad. Pero eso significa que $s+2$ debe ser una unidad o cero, y $s+2$ de $r$, no de la unidad, por lo que $r^{3^n-1}=0$ y $r=r^{3^n} = 0$.

El mismo argumento funciona para arbitrario primer $p$. Primero demostrar que $x \rightarrow x^p$ es un anillo automorphism, encontrar n tal que $r^{p^n}=r$, y luego usando $s=r^{p^n-1} +1$, demostrar que $s^{p-1}=1$. Un poco más difícil de probar, que requiere saber que

$${{p-1}\, seleccione{i}} \equiv (-1)^i \pmod{p}$$

[Que no funciona cuando $p=2$, por supuesto, y el teorema no es cierto para p=2. En ese caso, usted puede tomar el anillo $\{0,1, x,x+1\}$ con la regla de $x^2=x$.]

Answer 2

Sugerencia de $\:I\:$ es finito por lo Artinian. $\,I\,$ trivial Jacobson radical: si $\,j\,$ es en cada máx ideal entonces $\, j\!-\!1\,$ es en ningún max ideal, entonces, es una unidad. Así que, por hipótesis, $\, 1+(j\!-\!1)\ =\ j\,$ es una unidad o $0$, lo $0\,$ (otra unidad $\:j\in$ max ideal). Por la estructura teorema de Artinian anillos (aquí esencialmente CRT), $\: R = I/J =$ producto $\n:n\:$ campos. $\:n = 1,\:$ más por ej. $\: (1,1) + (-1,1)\, =\, (0,2)\ $ por lo que $\: 1+$ unidad $\ne$ o unidad $0$.

Tenga en cuenta que la prueba no invoca $\,{\rm char}\ R = 3\:$ pero sólo $\:2\ne 0\:$ (en la línea final), por lo que funciona para $\:{\rm char}\ R \ne 2,\:$ como supuso. Pero si falla por $\:{\rm char}\ R = 2,\:$ por ejemplo $(\mathbb Z/2)^{n}$$\: n>1\:$ no es un campo, pero, teniendo us $1$ como su única unidad, satisface $\: 1+$ unidad $\: =\:$ unidad o $0.$

De una manera más simple de ver el método en mi anillo de la teoría de la generalización de Euclides prueba a fewunit anillos, es decir, un infinito anillo tiene una infinidad de máxima ideas si se tiene un menor número de unidades de los elementos.

Si lo desea, usted puede especializarse en esta prueba a una más elementales de la prueba para su caso específico.

Ver también este post en la estructura de las teorías para nilpotent libre finito dimensionales álgebras sobre los campos.

Answer 3

A continuación es una completa primaria prueba de la más general resultado que usted cree.

Teorema de $\ $ Finito anillo $\,I\,\supset\,\mathbb Z/p\ $ es un campo, si el primer $\,p > 2\,$ y unidad $\u\R\, \Rightarrow\, 1\!+\!u\,$ unidad o $\,0$

Prueba $\ \ R\\,$ satisface $\ x^{q} = \ x\ \ q = p^n,\,$ desde, como Thomas mostró, la hipótesis implica que $\ f(x) = x^p\ $ es una permutación del conjunto finito de $\,R,\,$ por lo que ha finito de orden $\, f^{n}\!= 1\,.\,$ Por $\r \R\ $ deje que $\,e = r^{p-1}.\,$ Entonces $\,e^2\!-e\ =\ r^{\,p-2} (r^{q}\!-r)\ =\ 0.\,$ Entonces $\,(2e\!-\!1)^2\! = 4\,(e^2\!-e)+1 = 1\,$ entonces $\, 1+(2e\!-\!1)\, =\, 2\,e\,$ unidad o $\,0.\,$ $\, 2^{-1}\en\mathbb Z/p\, \Rightarrow\, e$ la unidad o $\,0.\,\ e$ unidad $\Rightarrow r\,$ unidad; $\ e=0\, \Rightarrow\, r = r^{q}\! = re = 0,\,$ es decir $\r\R\,$ es una unidad o $\,0\,.$