¿Es el conjunto vacío homeomorfo a sí mismo?

Question

Considere el conjunto vacío $\emptyset$ como espacio topológico. Dado que el conjunto de potencias del mismo es sólo $\wp(\emptyset)=\{\emptyset\}$ Esto significa que la única topología en $\emptyset$ es $\tau=\wp(\emptyset)$ .

De todos modos, podemos hacer $\emptyset$ en un espacio topológico y, por tanto, hablar de sus homeomorfismos. Pero aquí parece que tenemos una molesta patología: es $\emptyset$ ¿homogéneo a sí mismo? Para que esto sea cierto, necesitamos encontrar un homeomorfismo $h:\emptyset \to \emptyset$ . Sería muy desagradable que tal homeomorfismo no existiera.

Estuve tentado de pensar que no hay mapas de $\emptyset$ en $\emptyset$ pero considera la siguiente definición de mapa:

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ un mapa $f:A\to B$ es un subconjunto del producto cartesiano $A\times B$ tal que, para cada $a\in A$ sólo existe un par $(a,b)\in f\subset A\times B$ (obviamente, denotamos como único $b$ por $f(a)$ , $A$ se llama dominio del mapa $f$ y $B$ se llama codominio del mapa $f$ ).

Pensando así, existe un mapa (único) desde $\emptyset$ en $\emptyset$ ¡! Esto es sólo $h=\emptyset\subset \emptyset\times \emptyset$ . Esto es en realidad un mapa, ya que no puedo encontrar ningún elemento en $\emptyset$ (dominio) que contradice la definición.

Pero es $h$ ¿un homeomorfismo? ¿Qué significa para $h$ tener un inverso, ya que el concepto de mapa de identidad no está claro para $\emptyset$ ? No obstante, $h$ parece ser continua, ya que no puede contradecir (por vacío) nada de la definición de continuidad ( "las preimágenes de los conjuntos abiertos son abiertas" )

Así es $\emptyset$ ¿homogéneo a sí mismo? ¿Cuál es el consenso matemático al respecto?

1. ¿"Homeomórfico por definición"?
2. "Preferimos no hablar de homeomorfismos de conjuntos vacíos "
3. " "?

Answer 1

Su mapa $h$ existe, y es un homeomorfismo. De hecho, es el mapa de identidad: para cada elemento $x\in\emptyset$ , $h(x)=x$ . Así que desde $h\circ h=h=\operatorname{id}$ , $h$ es su propia inversa. Dado que ambos $h$ y $h^{-1}=h$ son continuos, $h$ es un homeomorfismo.

(Por cierto, comprobar que $h$ es continua no es del todo vacía. Hay que comprobar que $h^{-1}(U)$ es abierto para cualquier subconjunto abierto $U\subseteq\emptyset$ . No es cierto que no haya opciones de $U$ : más bien, hay exactamente una opción de $U$ , a saber $U=\emptyset$ . Por supuesto, $h^{-1}(\emptyset)=\emptyset$ está efectivamente abierto).

Answer 2

Para ampliarlo un poco más, está la función de vacío $\emptyset \to \emptyset$ ( eso es solo $\emptyset$ visto como una función). Es biyectiva y bicontinua.

Answer 3

En toda categoría, todo objeto es isomorfo a sí mismo, a través del morfismo de identidad. Esto se deduce inmediatamente de las definiciones de la teoría de categorías, la existencia de un morfismo de identidad para cada objeto es un axioma. Así que si quieres llamar a los espacios topológicos una categoría, y al espacio vacío un objeto de esa categoría, entonces debe aceptar que el morfismo identidad de ese espacio es un homeomorfismo. Lo mismo ocurre con el conjunto vacío como objeto en la categoría de conjuntos, cuyo mapa de identidad es un de buena fe bijection.

Por cierto, el morfismo "de identidad" (o flecha) es sólo un nombre, y no tiene por qué ser un mapa de identidad (o un mapa en absoluto), aunque sí tiene que ser neutral en la composición con otros morfismos (y consigo mismo). Pero en las categorías de conjuntos y espacios topológicos los morfismos son y el mapa de identidad es el único mapa que es neutral en la composición con morfismos, por lo que el morfismo de identidad debe ser el mapa de identidad. Y en el caso de un conjunto/espacio vacío, el mapa de identidad es el único mapa a sí mismo alrededor de todos modos.