Multiplicar todos los términos de la fracción continua por una constante

Question

Me di cuenta de que continuó la fracción para $\sqrt{12}$ es $3;2,6,2,6,2,\ldots$

y la fracción continua para $\sqrt{7\times12}$ es $9;6,18,6,18,6,\ldots$

todos los términos de la fracción continua se multiplican por $3$ . ¿Es sólo una "coincidencia"? En general, ¿qué operación es la multiplicación escalar de los términos de una fracción continua?

Answer 1

Nota: Esto no es una respuesta completa ni siquiera a la primera subpregunta, pero puede aportar alguna idea sobre el problema.

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Las coincidencias se producen si (pero posiblemente no sólo si) la fracción continua para $\sqrt{m}$ es finalmente periódica con período de longitud $2$ es decir, de la forma $\langle A, \overline{B, 2A}\rangle$ para algunos enteros no negativos $A$ , $B$ . El valor de $m$ puede expresarse como $m=A^2+\frac{2A}{B}$ .

Si sustituimos $(A,B)$ por $(kA, kB)$ para algún número entero positivo $k$ el valor de $m$ se transformaría en $m_k = k^2A^2 + \frac{2A}{B}$ . Este valor es divisible por $m$ sólo si $(AB+2)$ divide $2(1-k^2)$ . Claramente, esto ocurre para infinitas $k$ para cualquier elección de $A$ et $B$ lo que hace que la "coincidencia" sea algo menos rara de lo que cabría esperar :-)

El ejemplo original corresponde a $A=3$ et $B=2$ ; con $k=1$ dando lugar a $m=12$ et $k=3$ produciendo $m_k=84$ . La condición dada anteriormente nos dice que tomando cualquier impar $k$ y ajuste $m_k=9k^2+3$ funcionaría igual de bien: por ejemplo $k=5$ nos da $m_5=228$ cuya fracción continua es $\langle 15, \overline{10, 30} \rangle$ .

Si tales "coincidencias" ocurren para cualquier fracción continuada con periodos superiores a $2$ no está claro... pero lo cierto es que aún no he conseguido encontrar ninguno.