Cerrada en forma de sumas de series de Fourier de $\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}$

Question

Considerar incluso la $\pi$-función periódica $f(x,k)=\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}$ con el coseno de Fourier de la serie $$f(x,k)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos2nx,\quad a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sqrt{1-k^2 \sin^2 x}\cos 2nx \,dx.$$ This was considered in this earlier question, and in comments an observation was made: The Fourier coefficients all appear to be of the form $a_n= A_n(k) K(k)+B_n(k) E(k)$ where $K,E$ are the complete elliptic integrals of the first and second kind and $A_n(k),B_n(k)$ are rational functions of $k$.

Esto es plausible por el hecho de que $f(x,k)$ es el primer $x$-derivado de la incompleta integral elíptica de segunda especie $E(x,k)=\int_0^x f(x',k)\,dx'$. Por otra parte, esta conjetura para $a_k$ puede ser confirmado por el examen de la serie de Fourier de $E(x,k)$; esto aparece en un documento de 2010, por D. Cvijovic, con texto completo disponible en ResearchGate.

Algo que podemos concluir a partir de esta observación es que, dado que los coeficientes de Fourier son combinaciones lineales de completar las integrales elípticas, $f(x,k)$ sí debe ser de la forma $A(x,k)K(k)+B(x,k)E(k)$ donde $A(x,k), B(x,k)$ incluso $\pi$-funciones periódicas cuyos coeficientes de Fourier son funciones racionales de $k$. Tal expansión de Fourier de no aparecer en el documento se señaló anteriormente, pero las funciones propias que no se encuentran en forma cerrada. De ahí mi pregunta:

Puede $A(x,k)$, $B(x,k)$ ser obtenidos en forma cerrada, en términos de conocer funciones especiales?

Answer 1

Tenemos: $$ \frac{\pi}{2}\,a_n=\int_{0}^{\pi}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\cos(2n\theta)\,d\theta =\frac{k^2}{4n}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(2\theta)\sin(2n\theta)}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\,d\theta.\tag{1}$$ Si ponemos: $$ b_m = \int_{0}^{\pi}\frac{\cos(2m\theta)}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\,d\theta,\qquad c_m = \int_{0}^{\pi}\cos(2m\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\,d\theta $$ tenemos: $$ b_m = \int_{0}^{\pi}\frac{\cos(2\theta)\cos((2m-2)\theta)}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\,d\theta-\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(2\theta)\sin((2m-2)\theta)}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\,d\theta$$ y que expresan $\cos(2\theta)$ $1-2\sin^2\theta$ obtenemos:

$$ b_m = \frac{2}{k^2}\int_{0}^{\pi}\frac{(k^2/2-k^2\sin^2\theta)\cos((2m-2)\theta)}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\,d\theta-\frac{4(m-1)}{k^2}c_{m-1}$$ así: $$ b_m = \frac{2}{k^2} c_{m-1} + \frac{k^2-2}{k^2}b_{m-1}-\frac{4m-4}{k^2}c_{m-1} = \frac{k^2-2}{k^2}b_{m-1}-\frac{4m-2}{k^2}c_{m-1}. $$

Por otra parte, la integración por partes, se obtiene: $$ c_m = \frac{k^2}{8m}\left(b_{m+1}-b_{m-1}\right), \tag{2}$$ por lo tanto: $$ b_m = \frac{k^2-2}{k^2}b_{m-1}-\frac{2m-1}{4m-4}(b_m-b_{m-2}), $$ $$ \frac{6m-5}{4m-4} b_m = \frac{k^2-2}{k^2}b_{m-1}+\frac{2m-1}{4m-4}b_{m-2}, $$ o:

$$ b_m = \frac{4m-4}{6m-5}\cdot\frac{k^2-2}{k^2}b_{m-1}+\frac{2m-1}{6m-5}b_{m-2}.\tag{3} $$

Desde $b_0 = 2 K(k) $ $c_0 = 2 E(k)$ hemos $$ b_1 = \frac{1}{k^2}\left((2k^2-4)K(k)+4E(k)\right).$$ Con el fin de tener formas explícitas para$A(\theta,k)$$B(\theta,k)$, es suficiente encontrar una forma cerrada de la expresión de la recursividad dado por $(3)$, ya que, por $(1)$$(2)$: $$\frac{\pi}{2}a_n = c_n = \frac{k^2}{8n}\left(b_{m+1}-b_{m-1}\right).$$

Mediante el establecimiento de: $$ B(x)=\sum_{n\geq 0} b_n x^n $$ la recursividad $(2)$ se puede convertir en un destino de primer orden en la educación a distancia para $B(x)$, dando a ese $B(x)$ se comporta como el recíproco de la raíz cuadrada de un polinomio cúbico, y el radio de convergencia de $B(x)$ es $\geq 2.485$. $A(\theta,k)$ y $B(\theta,k)$ puede ser recuperado de $\Re\left(B(e^{2i\theta})\right)$.