Cómo describir arbitrarias aceleraciones en relatividad especial

Question

Describir la aceleración en la teoría especial de la relatividad es, en principio, sencillo, y para los casos más sencillos, el resultado de las transformaciones son simples. Los ejemplos incluyen el movimiento circular y la aceleración constante de la aceleración de la trama (el relativista cohete). Algo más complicado va a tener que hacerse numéricamente, lo cual está bien, pero no es inmediatamente obvio para mí ¿cómo te gustaría ir sobre esto.

Vamos a llamar a nuestro marco de $S$, y nuestra métrica es sólo la métrica de Minkowski. Si podemos escribir una expresión para la trayectoria de $x(t)$ en nuestras coordenadas $x$ $t$ entonces todo es sencillo. Pero esto no es probable que sea el caso. Es más que probable que la aceleración del crecimiento se dará en la aceleración del objeto frame $S'$ es decir, todo lo que sabemos es $a'(t')$.

Por lo tanto, dado que todos sabemos que es la forma de $a'(t')$, ¿cómo podemos establecer sobre el cálculo de la trayectoria del cohete en nuestras coordenadas $S$? Principios generales va a estar bien como estoy seguro de que puedo trabajar el detalle fino. Es sólo que no estoy seguro de por dónde empezar.

Suponiendo que yo no estoy bordeando demasiado cerca de la tarea horizonte de sucesos, este podría hacer un buen blog el tipo de pregunta. He estado pensando acerca de cómo escribir una respuesta a su propia pregunta post acerca de la aceleración en el SR durante algún tiempo.

Answer 1

Esta es una respuesta para el movimiento en 1+1 dimensiones. Vamos a un punto de stand para la diferenciación con respecto a la del cohete en el tiempo apropiado,$t'$. El cohete de cuatro de velocidad está normalizado, por lo que

$$\dot{t}^2-\dot{x}^2=1\quad.\qquad (1)$$

Dado que la norma de la aceleración de la cuatro-vector es invariante, tenemos

$$ \ddot{t}^2-\ddot{x}^2=-a'^2 \quad . \qquad (2)$$

Implícita diferenciación de (1) da

$$\ddot{t}=v\ddot{x} \quad ,$$

donde $v=dx/dt$. Si sustituimos esto en (2), nos encontramos con

$$\ddot{x}=\gamma a'\quad.$$

Dado $a'$ como una función de la $t'$, esto puede ser integrado de forma numérica para encontrar $x(t)$.

Answer 2

Este post es una continuación de Ben respuesta. Voy a utilizar $\alpha = a'$ para evitar la anotación de desorden. Como Ben mostró, podemos escribir 1-movimiento de dimensiones $$ \ddot{x} = \gamma\alpha, $$ donde los puntos son derivados wrt en el tiempo apropiado. El problema es que $\gamma$ contiene $v = dx/dt$, por lo que es una función de la coordenada de tiempo $t$ en lugar de un tiempo apropiado. Podemos eliminar esto, sin embargo: desde $$ \dot{x} = \gamma v,\qquad \dot{t} = \gamma,\qquad c^2\ddot{t} = v\ddot{x}, $$ nos encontramos $$ \begin{align} \ddot{x} &= \dot{t}\alpha, \tag{1}\\ c^2\ddot{t} &= \dot{x}\alpha. \tag{2} \end{align} $$ La diferenciación de la ecuación (2) da $$ \dddot{x} = \ddot{t}\alpha + \dot{t}\dot{\alpha} = \frac{\alpha^2}{c^2}\dot{x} + \frac{\dot{\alpha}}{\alpha}\ddot{x}, $$ que se puede escribir como 2-orden de la ecuación diferencial $$ \ddot{u} - \frac{\dot{\alpha}}{\alpha}\dot{u} - \frac{\alpha^2}{c^2}u = 0, $$ con $u(t') = \dot{x}$. Una mayor integración da $x(t')$. Por cierto, si podemos diferenciar eq. (2), obtenemos la misma ecuación: $$ \ddot{\gamma} - \frac{\dot{\alpha}}{\alpha}\dot{\gamma} - \frac{\alpha^2}{c^2}\gamma = 0, $$ con $\gamma(t') = \dot{t}$. Esto era de esperar, ya que $$ c^2\gamma^2 - u^2 = c^2\dot{t}^2 - \dot{x}^2 = c^2. $$ La integración de $\gamma(t')$ da $t(t')$, de lo cual se derivaría $t'(t)$ y, finalmente,$x(t) = x(t'(t))$.

Answer 3

Cómo describir arbitraria aceleraciones en especial de la relatividad

En el intento de abordar esta (primera) de la pregunta, te recomiendo el siguiente coordinar libre, y invariante (cuadro independiente) manera de describir la aceleración de un participante (el"objeto", "rocket", ...) $A$:

Dada la trayectoria de $A$ (coordinar libre, y invariantly) como el (ordenada) set $\{ O, ..., P, ... Q, ..., W, ... X \}$ (en general) los distintos participantes que $A$ met (de paso) en el curso de un juicio en particular,
el participante $O$ puede ser llamado también el "origen de las $A$'s de la trayectoria", en este juicio, y participante $X$ el "destino",

y dada la (coordinar libre, y invariante) intervalo de relaciones entre pares de los eventos correspondientes en que $A$ había tomado parte en este juicio,
es decir, el número real de los valores de los coeficientes de

$$\frac{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Q}~]}{s^2[~\varepsilon_{A O}, \varepsilon_{A X}~]}$$

para todos los pares de participantes (como, por ejemplo,$P$$Q$, e incluyendo también a$O$$X$) que $A$ había conocido en el curso del juicio.

La magnitud $|~\mathbf a_A[~Q~]~|$ $A$'s la aceleración en el (caso de) la reunión y aprobación de participante $Q$ por lo tanto puede ser expresado como

$$ \begin{array}{ll} |~\mathbf a_A[~Q~]~| := \frac{c}{\sqrt{\stackrel{~}{|~s^2[~\varepsilon_{A O}, \varepsilon_{A X}~]~|}}} \times {\text{Limit}}_{ \large{\left\{\frac{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A W}~]}{s^2[~\varepsilon_{A O}, \varepsilon_{A X}~]} \rightarrow 0 \right\} }} &~ \cr \scriptsize{ \left[ ~~ \sqrt{ \stackrel{~}{\frac{s^2[~\varepsilon_{A O}, \varepsilon_{A X}~]}{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A W}~]} }} \times \sqrt{ \eqalign{ \stackrel{~}{ \left( \frac{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A W}~]}{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Q}~]} \right)}~ \left( \frac{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A W}~]}{s^2[~\varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{A W}~]} \right)~ + \left( \frac{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Q}~]}{s^2[~\varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{A W}~]} \right)~ + \left( \frac{s^2[~\varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{A W}~]}{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Q}~]} \right)~ \\ - 2 \left( \frac{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A W}~]}{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Q}~]} \right)~ - 2 \left( \frac{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A W}~]}{s^2[~\varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{A W}~]} \right)~ - 2 } } ~~~ \right] }; \end{array} $$

y la dirección promedio de $A$'s aceleración a lo largo de un juicio de evento $\varepsilon_{A O}$ hasta el evento $\varepsilon_{A X}$ se expresa en términos de las familias de los participantes; es decir, como "hacia" cualquier participante $B$ (si existe uno), para cada par de eventos en los que $B$ tomó parte, como en el $\varepsilon_{A B P} \equiv \varepsilon_{A P}$$\varepsilon_{A B W} \equiv \varepsilon_{A W}$, por lo que

$$ \sqrt{ \frac{s^2[~\varepsilon_{A B P}, \varepsilon_{B Y}~]}{s^2[~\varepsilon_{A B P}, \varepsilon_{A B W}~]} } + \sqrt{ \frac{s^2[~\varepsilon_{B Y}, \varepsilon_{A B W}~]}{s^2[~\varepsilon_{A B P}, \varepsilon_{A B W}~]} } = 1, $$

y la instantánea de la dirección de $A$'s la aceleración en el (caso de) la reunión y aprobación de participante $Q$ sería expresada por el orden parcial de tales familias, wrt. un orden parcial de los ensayos, todas las cuales incluyen evento $\varepsilon_{A Q}$.

Ahora, el problema inverso puede ser abordado así:

[...] que el ac[c]eleration será dada [...]

es decir, dado el número real de los valores (normalizada de la aceleración de las magnitudes)

$$ |~\mathbf a_A[~Q~]~| \frac{\sqrt{\stackrel{~}{|~s^2[~\varepsilon_{A O}, \varepsilon_{A X}~]~|}}}{c} $$

para cada coincidencia de eventos $\varepsilon_{A Q}$ $A$ haber conocido y aprobado un participante $Q$ dentro de un juicio de haber dejado el origen (participación $O$) hasta haber alcanzado el destino (participante $X$) para obtener los posibles valores de los coeficientes de $\frac{s^2[~\varepsilon_{A O}, \varepsilon_{A Q}~]}{s^2[~\varepsilon_{A O}, \varepsilon_{A X}~]}$, $\frac{s^2[~\varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{A X}~]}{s^2[~\varepsilon_{A O}, \varepsilon_{A X}~]}$, $\frac{s^2[~\varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Q}~]}{s^2[~\varepsilon_{A O}, \varepsilon_{A X}~]}$, etc.;
todo "como tales" ("intrínsecamente"),
o también sujeto a otros "externos" de las limitaciones, refiriéndose a participantes adicionales, condiciones relacionadas con la dirección(s) de aceleración y/o condiciones en "la geometría", expresada por el tratado de los valores de intervalo de proporciones.

Por desgracia, en el momento en que no sé específico y eficaz de los métodos matemáticos para abordar este tipo de problemas en general; pero después de haber explicado el problema, en principio, uno puede considerar al menos el "método de la fuerza bruta": hacer un inventario de todas las tareas $$s^2 : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R,$$ donde $\mathcal S$ denota el conjunto de todos coincidencia de los eventos de los participantes para ser considerado,
y para comprobar que los fit" el dado los valores de aceleración y limitaciones.

Algunos podrían incluso considerar la posibilidad de aspersión distintos coordinar las tuplas de los distintos participantes (y/o en los distintos eventos) siendo considerada ...