Cómo probar lo siguiente: $$ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_n^2}{x_1+x_2+ \cdots +x_n} dx_1 dx_2 \cdots dx_n = \frac23 $ $
Te lo agradeceria si me pudieras ayudar!
Respuesta
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Que $X_1, X_2,\dots$ ser independiente, uniforme $(0,1)$ al azar variables. Por la ley de grandes números tenemos $$ \begin{eqnarray*} {X_1+\cdots + X_n\over n}&\to& \mathbb{E}(X)={1\over 2}\\ {X_1^2+\cdots + X^2_n\over n}&\to& \mathbb{E}(X^2)={1\over 3}\\ \end{eqnarray *} $$ en probabilidad como $n\to\infty$. Por lo tanto $${X_1^2+\cdots +X^2_n\over X_1+\cdots +X_n}={X_1^2+\cdots +X^2_n\over n}\cdot{n\over X_1+\cdots +X_n}\to {2\over 3}$$ in probability as $n\to \infty$. La relación entre variables aleatorias ${X_1^2+\cdots +X^2_n\over X_1+\cdots +X_n}$ se limita a continuación por cero y arriba por uno. Esto garantiza la convergencia de las expectativas, así. Tan % $ de $$\mathbb{E}\left({X_1^2+\cdots +X^2_n\over X_1+\cdots +X_n}\right)\to{2\over 3}$que es el resultado requerido.
