Browniano aproximación de rachas de paseos con la deriva positiva

Question

Estoy interesado en las recesiones de discretos paseos w(t) cuyos pasos son IID, acotado, y han positiva media. Un ejemplo sencillo podría tener pasos que son +1 con probabilidad 2/3 y -1 con probabilidad 1/3. Una bajada de tamaño en menos D en [0,t] 0<=a<b<=t y w(a)-w(b)>D.

Las preguntas naturales incluyen el tamaño esperado de la mayor bajada en [0,t] y se espera que la mínima b, por lo que hay una bajada de tamaño D de terminar en la b.

Un enfoque posible es el uso de un Browniano aproximación con la misma media y desviación estándar. Esto tiene la ventaja de que la distribución de la mayor bajada en [0,t] se ha estudiado. El tiempo de espera antes de una bajada de tamaño D es computable y tiene una simple fórmula. Asintótica expresiones para el tamaño promedio de la mayor bajada en [0,t] se han calculado. Ver Amrit Pratap MS tesis.

Sin embargo, la Browniano aproximación tiene la desventaja de que está mal, y a veces es malo por mucho. Por ejemplo, un paseo con sólo pasos positivos no tiene mala racha.

Me gustaría saber lo mal que debo esperar la Browniano aproximación debería ser para los pasos que pueden ser negativos, con relativamente pequeño positivo significa en relación a la desviación estándar. Por ejemplo, -1 con probabilidad 4/5, +5 con probabilidad de 1/5. Me gustaría saber si una inclinación en la dirección positiva significa que las grandes depresiones económicas son menos comunes en los discretos a pie que en la Browniano aproximación.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Yo sólo tropezó accidentalmente con esta bonita pregunta. Sospecho que por ahora usted sabe la respuesta a sí mismo, pero aún así, me deja hacer un simple cálculo. Si te gusta, lo voy a pensar más de la cuestión.

El proceso en cuestión es el siguiente. Una partícula se aleja del origen y no yo.yo.d. al azar pasos positivos significan. Si alguna vez termina a la derecha del origen, es volver a poner allí. La pregunta es ¿cuál es la posición más a la izquierda que visitó después de $t$ pasos.

Quiero argumentar de la siguiente manera. Echemos un vistazo a la probabilidad de que va a llegar a $-D$ antes de volver al origen. Es acerca de $Ce^{-\lambda D}$ donde $\lambda>0$ es la única solución positiva de la ecuación de $\int p(x)e^{-\lambda x}dx=1$ $p$ es la densidad de la distribución de paso. El valor de $C$ también es posible calcular. Ahora, cada intento de salir desde el origen dura por algún tiempo con exponencialmente en descomposición colas. Deje $T$ es el promedio de tiempo de viaje. Entonces, en el momento en $t$, el número de intentos de salidas es de alrededor de $t/T$. Por lo tanto, la probabilidad de éxito es acerca de $(1-Ce^{-\lambda D})^{t/T}$ lo que significa que $ED_{\text{min}}\approx \lambda^{-1}(\log t+\log(C/T)+U)$ donde $U$ es alguna constante universal ($U=\int_0^\infty (e^{-e^{-x}}+e^{-e^x}-1)dx$, si no me he equivocado). Esto significaría que, para las grandes ocasiones, son siempre un número constante de veces con la Browniano aproximación.

Por supuesto, esto es sólo una parte posterior de la envolvente de la computación, pero, puesto que ni siquiera sé si usted todavía está interesado, prefiero parar aquí.