Probar la convergencia de una serie

Question

Estoy tratando de resolver este ejercicio:

Dejemos que $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\mathbb{R}$ y $p,q\in\mathbb{R}$ tal que $p<q$ . Demostrar que si la serie $\sum \frac{a_n}{n^p}$ converge, entonces la serie $\sum \frac{a_n}{n^q}$ también lo hace.

La prueba de comparación parece útil, pero como no sabemos que $a_n$ es positivo no se aplica. ¿Algún consejo?

Answer 1

Si $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^p}$ converge, sabemos que $\displaystyle\sum_{n=1}^m\frac{a_n}{n^p}$ está acotado. Además, $\dfrac{1}{n^{q-p}}$ disminuye monótonamente hasta $0$ . Así, Prueba de Dirichlet dice que $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^q}=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^p}\frac{1}{n^{q-p}} $$ converge.

Answer 2

Si todos los términos son positivos / negativos, es fácil utilizar la prueba de comparación. Lo mismo ocurre si después de decir $N$ términos, todos los términos de la secuencia $a_n$ son del mismo signo.

Supongamos ahora que no estamos en este caso, y supongamos (sin pérdida de generalidad) que el primer término es positivo (en caso contrario, multipliquemos todo por $-1$ ). Por lo tanto, existe un número entero $N_1$ tal que para $1 \le n < N_1$ , $a_n \ge 0$ y $a_{N_1} < 0$ . Como suponemos que los términos de la secuencia no son todos negativos después, existe un $N_2$ tal que para todo $n$ con $N_1 \le n < N_2$ tenemos $a_n \le 0$ y $a_{N_2} > 0$ .

Siguiendo este patrón por inducción, existe $N_{2k+1}$ tal que para $N_{2k} \le n < N_{2k+1}$ , $a_n \ge 0$ y $a_{N_{2k+1}} < 0$ y luego otro entero $N_{2k+2}$ tal que para $N_{2k+1} \le n < N_{2k+2}$ , $a_n \le 0$ con $a_{N_{2k+2}} > 0$ . Por lo tanto, se puede definir una secuencia como esta : $$ \alpha_i = \sum_{n=N_{i-1}}^{N_i - 1} \frac{a_n}{n^p}. $$ Tenga en cuenta que la serie $$ \sum_{i=1}^{\infty} \alpha_i $$ también converge, ya que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {a_n}{n^p} = \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{n=N_{i-1}}^{N_i - 1} \frac{a_n}{n^p} = \sum_{i=1}^{\infty} \alpha_i. $$ Ahora se puede reescribir esta serie como $$ \sum_{i=1}^{\infty} \alpha_i = \sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} |\alpha_i|. $$ Por el criterio de Leibniz, converge si y sólo si $|\alpha_i| \to 0$ como $i \to \infty$ Por lo tanto, converge. Ahora definamos $$ \beta_i = \sum_{n = N_{i-1}}^{N_i - 1} \frac{a_n}{n^q}. $$ De la misma manera, es fácil ver que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {a_n}{n^q} = \sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} |\beta_i| $$ y como $|\beta_i| \le |\alpha_i|$ , $|\beta_i| \to 0$ como $i \to \infty$ y, por tanto, la serie en el lado derecho converge. Tenga en cuenta que aún no he terminado. Para demostrar que esta igualdad se mantiene realmente, hasta ahora sólo he mostrado que la secuencia $$ S_N = \sum_{n=1}^N \frac{a_n}{n^q} $$ tiene una subsecuencia convergente, a saber $S_{N_i}$ . Pero uno ve fácilmente que para $N > N_1$ se puede delimitar $S_N$ de arriba con un término de la secuencia $S_{N_k}$ y de forma similar desde abajo.

Más explícitamente, escriba $S_{N_i} \to L$ . Si $N_{2k} \le n < N_{2k+1}$ Entonces, como $a_i \ge 0$ , $S_{N_{2k}} \le S_n < S_{N_{2k+1}}$ . Si $N_{2k+1} \le n < N_{2k+2}$ Entonces, como $a_i \le 0$ tenemos $S_{N_{2k+2}} < S_n \le S_{N_{2k+1}}$ . Utilizando $x_n = \min \{S_{N_{2k}}, S_{N_{2k+2}} \}$ se puede ver que $$ \liminf_{n \to \infty} S_n \ge \liminf_{n \to \infty} x_n = \lim_{k \to \infty} S_{N_k} = L. $$ Un argumento similar muestra que $\limsup_{n \to \infty} S_n \le L$ , lo que significa que $\lim_{n \to \infty} S_n = L$ .

Espero que eso ayude,

EDITAR : Acabo de darme cuenta de que el criterio de Leibniz requiere que la secuencia no sólo sea convergente positiva a $0$ pero también disminuyendo. Esto me tiene mosqueado. Supongo que hay una forma de evitarlo pero no quiero encontrarla. Dejaré la respuesta ahí y diré que "en el caso de que $|a_n|$ está disminuyendo, nuestra intuición funciona bien".