Topologists bucles frente a algebraists bucles

Question

Sea X una variedad afín sobre ℂ. Considere X(ℂ) con la clásica de la topología, y crear la topologists bucle espacio ΩX(ℂ) de los mapas del círculo en X(ℂ). También se puede construir el ind-variedad X((t)), cuyo R-puntos están dadas por X(R((t))) para cualquier ℂ-álgebra R. Tomar la ℂ-puntos de este ind-variedad, y darles la topología usual. Es el espacio topológico X((t))(ℂ), así definida, homotopy equivalente a ΩX(ℂ)?

Edición: David Ben-Zvi comentario con respecto al uso de unbased bucles en lugar de en base de bucles es pertinente. Deberíamos estar considerando unbased bucles (L no Ω). Esto se verifica en el caso de que $X=\mathbb{G}_m$. El afín Grassmannian caso también proporciona pruebas positivas.

Comentario (basado en los comentarios): tenga en cuenta que el espacio X((t)) no es el cambio de base de X a ℂ((t)). No es la restricción de escalares, ya que $R\otimes \mathbb{C}((t))\neq R((t))$ en general. Con respecto a poner la clásica topología de X((t))(ℂ), uno no debe tener miedo de la ind-scheminess. ℂ((t)) tiene una estructura natural de topológico, anillo, y por lo tanto nos topologise X(ℂ((t))) en la forma habitual, teniendo la topología de subespacio mediante un circuito cerrado de incrustación en affine n-espacio para algunos n.

[párrafo redactado]

Answer 1

He aquí un ejemplo construido usando cara luna llena de la idea, sin salir de la suave reino: Tomar una afín a la curva de $X$, cuya suave proyectiva modelo $\overline{X}$ género $g > 0$. Definir $S^1_a = \mathrm{Spec}(\mathbf{C}((t)))$ y $D^2_a = \mathrm{Spec}(\mathbf{C}[[t]])$.

Reclamo: El mapa de $X((t))(\mathbf{C}) \LX$ no es un homotopy de equivalencia. De hecho, incluso no es surjective en $\pi_0$.

Prueba: (split) fibration $\Omega(X) \LX \a X$ muestra que $\pi_0(LX) = \pi_0(\Omega(X)) = \pi_1(X)$. Por lo que es suficiente para mostrar que el natural mapa de $X(S_a^1) \a \pi_1(X)$ es no surjective. Como $\pi_1(X) \twoheadrightarrow \pi_1(\overline{X})$, incluso es suficiente para mostrar que no todos los elementos de $\pi_1(\overline{X})$ es realizado a través de un mapa de $f:S^1_a \a X$. Un $f$, el mapa compuesto $S^1_a \X \a \overline{X}$ factores como un mapa $S^1_a \D^2_a \a \overline{X}$ por el valuative criterio. En particular, la inducida por el mapa de los grupos es trivial como $D^2_a$ es simplemente conectado. $G > 0$, hemos terminado.

[ Parece que $\mathrm{Spec}(\mathbf{C}((t)))$ tiene una estructura de Hodge, de la Tate tipo y, en consecuencia, no puede detectar bucles, excepto los de peso $0$, es decir, aquellos que provienen de la eliminación de divisores. ¿Alguien sabe si Hodge teoría tiene sentido para grandes tales objetos? ]

Answer 2

Sólo un metacomment en Bhargav la respuesta: no siempre es cierto que $\pi_0(LX) = \pi_1(X)$, es decir, cuando $X$ no es simplemente conectado (como es el caso en este ejemplo). En general $\pi_0(LX)$ es el conjunto de clases conjugacy de los elementos de $\pi_1(X)$, piensen en el cambio de punto de base isomorfismo en $\pi_1$.

Sin embargo, esto ciertamente no se rompa el argumento: hay un montón de trivial clases conjugacy en $\pi_1(X)$.

Answer 3

Yo no entiendo muy bien todos los bits de la pregunta, pero este es un poco largo para un comentario. Es despertado por uno de David Ben-Zvi los comentarios de arriba. Si tomamos un compacto de Lie semisimple grupo $G$, con una mínima centro a continuación, podemos considerar el polinomio de bucles en $G$ por la incrustación de $G$ en algunos matriz del grupo, por ejemplo a través de la adjoint representación en su complexified Mentira álgebra, y teniendo en cuenta que son los bucles polinomio en la correspondiente matriz álgebra. Entonces este espacio es homotopy equivalente al espacio de suaves bucles en $G$ (no importa si tenemos o basados en la libre, por lo que estamos consistente). Prueba de ello es, por ejemplo, Pressley y Segal libro del Bucle de Grupos (la declaración exacta es la Proposición 8.6.6, pero, por supuesto, hay una considerable acumulación de eso). Y, por supuesto, suave es homotopy equivalente a continua.

Es que esto de alguna manera relevante a la pregunta?

Answer 4

Esta no es una respuesta, pero estos son mis pensamientos hasta ahora y esperemos que llevar a alguien a una respuesta correcta (de ahí el wiki de la comunidad). Mi recuerdo vago, es que el algebraicas bucle espacio sólo ve las cosas "cerca de" la constante de bucles, lo cual es consistente con cara luna llena de comentarios. Pido disculpas si estoy missunderstanding nada (yo soy uno de los que luchan topologists). Básicamente quiero un vistazo a un ejemplo, que creo que va a dilucidar el asunto.

Tomemos $X = \mathbb{G}_m$, el grupo multiplicativo. Entonces $ \mathbb{G}_m(\mathbb{C}) = Spec \mathbb{C}[b, b^{-1}]$. Como una analítica del espacio creo que esta es sólo de $\mathbb{C}^\times$, por lo que en la topológico lado tenemos un interesante bucle espacio. Tenemos una fibration secuencia,

$$\Omega \mathbb{C}^\times \L\mathbb{C}^\times \to \mathbb{C}^\times $$

y desde topológicamente $\mathbb{C}^\times \simeq S^1$, esto muestra que $\pi_0(L \mathbb{C}^\veces) \cong \mathbb{Z}$. Esto es algo que debemos ser capaces de detectar si la versión algebraica del bucle espacio es similar a la topológica, sólo contar el número de componentes.

Entonces, ¿cuál es la expresión algebraica de bucle espacio en este caso? Bien, supongo que por definición es de $Spec \; \mathbb{C}((t))[b,b^{-1}]$. Ahora me recuerdan, ¿cómo podemos convertir esto en un mismo espacio? y cuántos componentes tiene?

Si intenta tomar la $\mathbb{C}$-puntos de ella, es decir, homomorphisms, $$ \mathbb{C}((t))[b, b^{-1}] \to \mathbb{C}$$ no me acaba de conseguir $\mathbb{C}^\times$? Esto parece sugerir que se trata de un infinitesimal engrosamiento de la constante de bucles.

Answer 5

Mientras que la respuesta a tu pregunta es negativa en general, como se señaló antes, la respuesta es positiva para cierto tipo de bucle de grupos. Esto puede ser demostrado mediante topológico edificios gemelos. Ver Linus Kramer, Bucle de Grupos y Edificio con dos Camas. (No se indica de manera muy explícita, pero la topología utilizada en el edificio con dos camas y, por tanto, la algebraicas bucle grupo está destinado a ser el ind-topología procedentes de la Bruhat de células de descomposición.)