Un problema de límite de tiempo desagradable

Question

¿El siguiente límite admite una forma cerrada? $$\lim_{x \to \infty}\left[8e\,\sqrt[\Large x]{x^{x+1}(x-1)!}- 8x^2-4x \ln x - \ln^2 x - (4x + 2 \ln x) \ln 2\pi\right]$$

Mi profesor da esta cuestión como un problema de desafío en el final de la clase de cálculo pero no puedo solucionarlo. He intentado utilizar la aproximación de Stirling para el primer trimestre y tengo $$8e\,\sqrt[\Large x]{x^{x+1}(x-1)!} = 8e\cdot x\sqrt[\Large x]{x!} \sim 8 x^2\cdot \sqrt[\Large 2x]{2\pi x}$$but no sé cómo hacer para resolver el problema original. ¿Alguna idea? Cualquier ayuda sería apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Tomando el logaritmo del primer término dividido por $ 8e $:

$$ \frac 1 x\left[x\ln x + \ln\left(x!\right)\right], $$

Aproximada de Stirling el segundo término para

$$ \ln\left(x!\right) = x\ln x - x + \frac 1 2\ln x + \frac 1 2 \ln 2\pi + \frac 1 {12x} + \mathcal{O}(x^{-1}). $$

El primer término es por lo tanto

$$\begin{align} &8\exp\left[1 + 2 \ln x - 1 + \frac 1 2\frac{\ln x}{x} + \frac 1 2 \frac{\ln 2\pi}{x} + \frac 1 {12x^2} + \mathcal{O}(x^{-2})\right]\\ &=8x^2 \cdot \exp\left[\frac 1 2\frac{\ln x}{x} + \frac 1 2 \frac{\ln 2\pi}{x} + \frac 1 {12x^2} + \mathcal{O}(x^{-2})\right]; \end {Alinee el} $$ ahora ampliar la exponencial a orden $ \mathcal{O}(x^{-2}) $ y recibes $$ \begin{align} &8x^2 \bigg[1 + \bigg(\frac 1 2\frac{\ln x}{x} + \frac 1 2 \frac{\ln 2\pi}{x} + \frac 1 {12x^2}\bigg) +\frac 1 2\bigg(\frac 1 2\frac{\ln x}{x} + \frac 1 2 \frac{\ln 2\pi}{x} \bigg)^2 + \mathcal{O}(x^{-2}) \bigg]\\ & =8x^2 \bigg[1 + \frac 1 2\frac{\ln x}{x} + \frac 1 2 \frac{\ln 2\pi}{x} + \frac 1 {12x^2} +\frac 1 8\frac{\ln^2 x}{x^2} + \frac 1 8 \frac{\ln^2 2\pi}{x^2} + \frac 1 4 \frac{\ln x\ln 2\pi}{x^2} + \mathcal{O}(x^{-2}) \bigg]\\ & = 8x^2 +4x\ln x + 4x\ln 2\pi + \frac 2 {3} + \ln^2 x + \ln^2 2\pi + 2\ln x\ln 2\pi + \mathcal{O}(1), \end{Alinee el} $ que cancelar término por término, con el resto de la expresión a $ \ln^2 2\pi +\dfrac{2}{3} $.