Si $A$ es la imagen de un arco de Jordan en $S^2$, es decir, $A$ es la imagen de un mapa continuo inyectivo de $[0,1]$ $S^2$, $S^2-A$ necesariamente un conjunto simplemente conectado?
Respuesta
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Joe Gauterin
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Sí, $S^2 - A$ es simplemente conectado.
Deje $C$ ser cualquier circuito cerrado en la $S^2 - A$. Desde $A$ $C$ son compactos, la distancia entre ellos: $$d(A,C) = \inf \{ d(x,y) : x \in A, y \in C \} > 0$$ Comience con cualquier triangulación de $S^2$ en triángulos geodésicos, repetir subdividir hasta que el diámetro de todas las caras triangulares son más pequeños que los $\frac{1}{3} d(A,C)$. Deje $K$ ser la unión de todos los cerrados de caras triangulares que se cruzan $A$.
El límite de $K$, $\partial K$, es una unión geodésica de arcos. Cada vértice de $\partial K$ está conectado a número par de arcos de $\partial K$. Para cualquier vértice conectado a más de 2 arcos, conectar mediados de los puntos de los arcos para formar una geodésica polígono y expandir $K$ a llenar completamente el interior y los bordes de este polígono.
Es fácil ver la final de la $K$ satisface:
- $K$ está conectado
- $A \subset K - \partial K$
- $\forall x \in K, d(x,A) < \frac{2}{3} d(A,C) \implies K \cap C = \emptyset$ .
- Cada vértice de $\partial K$ está conectado a 2 arcos $\implies \partial K$ es un discontinuo de la unión de Jordania curvas.
Desde $C$ está conectado, $C$ vive en un componente conectado de $S - K$. Vamos a llamar a $L$ y su límite $\partial L$ se compone de un subconjunto de Jordania curvas de $\partial K$. Pretendemos que $\partial L$ es un solo de la curva de Jordan. De lo contrario, deje $L'$ $L''$ dos curvas de Jordan en $\partial L$. Desde $L$ es un componente conectado, $L'$ $L''$ no se encuentra fuera de cada uno de los otros. Si uno de ellos, decir $L''$ está "dentro" de otro $L'$, $L'$ va a separar la porción $K$ fuera de $L'$ a aquellos que están dentro de $L''$. Esto se contradice con el hecho de $K$ está conectado.
Se aplican $S^2$ versión de Schoenflies el teorema de la Jordania de la curva de $\partial L$, nos encontramos con $C$ puede ser contratado a un punto en $L$ y, por tanto, en $S - A$. Desde $S^2 - A$ está conectado (generalmente demostrado como un lexema cuando uno se demuestra Jordan Curva teorema) y cada bucle en el que se puede contratar a un punto, $S^2 - A$ es simplemente conectado.
