Un ejemplo de un mapeo $\eta\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que $\eta(x)=n$ tiene infinitamente muchas soluciones para cada $n\in\mathbb{N}$

Question

Supongamos que tengo el mapeo $\eta\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que para cada una de las $n\in\mathbb{N}$ la ecuación de $\eta(x)=n$ tiene una infinidad de soluciones. Vi esta pregunta , que es básicamente lo mismo, pero algunos de los ejemplos/soluciones están un poco por encima de mi cabeza.

Me preguntaba si alguien podría saber de una forma cerrada de la definición de $\eta(x)$ que es relativamente simple que logra la meta en la mano. No parece ser algo tan sencillo aunque es fácil entender el problema. Yo estaba pensando en intentar utilizar una función trigonométrica, el piso o el techo de la función, algo modular, etc., pero nada está funcionando muy bien. Ejemplos de algunos de asignación de definiciones que podrían funcionar bien?

Answer 1

Vamos a por cualquier $x\in \mathbb N$, $x>1$ $\eta(x)$ ser el número de factores en la factorización de $x$ en el producto de números primos. Definimos $\eta(1)=1$. A continuación, $\eta$ satisface sus condiciones. Aquí $\mathbb N=\mathbb{Z}_{>0}$.

Otra variante: Infinito Hotel.

Tercera variante. Para $x\in\mathbb N$ deje $\eta(x)=1+\max\{k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}:2^k\mid x\}$, en otras palabras, $\eta(x)=1+$ de la longitud de cero "cola" de $x$ en binario expansión de x. En lugar de dos, usted puede tomar cualquier otro número natural mayor que $1$ (inspirado por HowDoIMath).

Después de todo, he encontrado Hilbert del Hotel.

Answer 2

$d(n)=$ el número de divisores de $n$.

Tenga en cuenta que $d(p^{n-1})=n$ % primos todos $p$.

Answer 3

Usted podría elegir %#% $ #%

es decir: $$\eta(0,1,2,3,4,5,6\dots)= (\color{red}0,\color{blue}{0,1},\color{orange}{0,1,2},\color{green}{0,1,2,3}\dots)$ y

$ \eta(n+1) =\begin{cases} \eta(n)+1 & \text{if } \eta(n)\leq \max\{\eta(0),\dots,\eta(n-1)\} \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$

Es fácil ver que $\eta(0)=\eta(1)=0$ tiene infinitamente muchas soluciones.

Answer 4

$\eta(x) = \lfloor |\tan(x)| \rfloor$ hará, porque (1) $\tan$ es periódica con período $\pi$ y mapas del conjunto de $D = [0, \pi/2) \cup (\pi/2, \pi)$ continuamente en $\mathbb{R}$ y (2) para cualquier $n\in\mathbb{N}$, reducción modulo $\pi$ $\{m \in \mathbb{N} \mathrel{|} m > n\}$ en un subconjunto denso de $D$ todos los mapas. Declaraciones (1) y (2) implica que para cualquier número real $y$ y cualquier dado $\epsilon > 0$, $|\tan(m) - y| < \epsilon$ para infinitamente muchos $m \in \mathbb{N}$. Así dado tomar $n \in \mathbb{N}$, $y = n + 1/4$y $\epsilon = 1/8$, infinitamente muchos $m\in\mathbb{N}$ para que la planta de $\tan(m)$ es $n$.

Answer 5

Deje $x\in\mathbb{N}$, y deje $\eta(x)$ ser el número de veces que el dígito 1 aparece en el binario de expansión de $x$.

Para cualquier $n$, la ecuación de $\eta(x)=n$ tiene una infinidad de soluciones. Por ejemplo, si $n=4$, entonces los números con el binario expansiones $1111$, $11110$, $\ldots$, $111100\ldots 00$ se asignan a $4$.

Observe que en este ejemplo, tenemos $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$, es decir,$0\not\in\mathbb{N}$.

Como se sugiere en los comentarios, uno también puede permitir a los $\eta(x)-1$ ser el número de veces que el dígito $1$ aparece en el decimal de expansión de $x$.