Qué vamos a demostrar el uso de la inducción teorema?
Probablemente un ejemplo que se necesita aquí. Supongamos que queremos demostrar el pequeño Gauss. Supongamos que queremos demostrar este Teorema para todos los $n\in\mathbb{N}$:
$$ 1+2+3+ \cdots+ n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$$
La declaración de $A(n)$ es dada por:
$$ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
Con la inducción de esto es muy simple. Paso uno supongamos $n=1$:
$$ 1 = \sum_{k=1}^1 k = \frac{1(1+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2} $$
Hecho que la afirmación es verdadera para $n=1$. La parte buena de la inducción es que podemos seleccionar el número para el que queremos demostrar es así que también podría haber demostrado con $n=0$. Así que no trate de demostrar por $n$ realizará a través de cualquier número, pero demostrar que para un número seleccionado, casi siempre $n=0$ o $n=1$.
Ahora tenemos que demostrar que si la afirmación es verdadera para $n$ también es cierto para $n+1$. Es decir, si $A(n)$ es verdadero, $A(n+1)$ también es cierto:
$$ \underbrace{1+ 2+ \cdots + n}_{\sum_{k=1}^n k} + n+1 = \sum_{k=1}^n k + n+1 \overset{A(n) \text{ is true}}{=} \frac{n(n+1)}{2} + n+1 = \frac{n^2+n+2n+2}{2} = \frac{n^2+3n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2} $$
Así que ahora sabemos que la afirmación es verdadera para $n+1$ o $A(n+1)$ es cierto.
Probar sin la inducción
Lo que demuestra esta declaración sin la inducción no es así de simple. Usted puede hacer esto de esta manera. Supongamos $n\in \mathbb{N}$, entonces podemos mirar en la suma y la rearange que:
$n$ es incluso
$$ 1+2+\cdots + n = (1 + n) + (2+n-1) + \cdots + \left(\frac{n}{2} + \frac{n}{2} +1\right)=\frac{n}{2}(n+1) = \frac{n(n+1)}{2} $$
y para $n$ es impar
$$ 1+2+\cdots + n = (1+n) + (2+n-1) + \cdots + \left(\frac{n-1}{2} + \frac{n+1}{2} + 1\right) + \frac{n+1}{2} = (n+1)\frac{n-1}{2} + \frac{n+1}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$$
Conclusión
Así que vamos a concluir, podemos utilizar la inducción de aquí, pero nos puede ir sin él también. El primero, aunque es mucho más sencillo, ya que utiliza la inducción y si conseguir su cabeza alrededor de ella, es más fácil comprobar que es cierto. El otro es el uso de la inducción internamente para el rearanging y tienen que pensar mucho si esto es cierto o si he cometido un error.
Lo que hace la operación de la parte media?
Lo curioso es que la inducción se puede generalizar en un montón de cosas. Si nos fijamos en el conjunto de $\mathbb{N}$ de lo que podemos definir de la siguiente manera $1$ $\mathbb{N}$ e si $n\in\mathbb{N}$$n+1$$\mathbb{N}$, lo que le permite llamar a ese $(\star)$:
- $1 \in \mathbb{N}$
- $\forall n\in\mathbb{N} \Rightarrow n+1\in\mathbb{N}$
Si mira usted encontrará que este es el aspecto parece mucho a la de inducción. Así que, básicamente, se puede decir que si usted tiene la declaración de $A(n)$ y quiere demostrar que es verdadera para todos los $n\in\mathbb{N}$ hace lo siguiente, determina el conjunto $\mathfrak{A}$ para que la afirmación es verdadera. Este conjunto está dada por:
$$\mathfrak{A} = \{n\in\mathbb{N} | A(n) \text{ is true}\}$$
Y ahora si sabemos $1\in\mathfrak{A}$, y para todos los $n\in\mathfrak{A}$ es de la siguiente manera $n+1\in\mathfrak{A}$, entonces se sigue de $(\star)$:
$$ \mathfrak{A} = \mathbb{N} $$
así que la afirmación es verdadera para todos los $n\in\mathbb{N}$
Más generalizada de inducción shemes
El ejemplo en el que esto es generalizado es el "principio de la buena" (este es el nombre alemán traducido directamente), se utiliza en la teoría de la medida y trabaja con conjuntos de que son mucho más grande, a continuación,$\mathbb{N}$, de hecho, con los conjuntos que tienen la cardinalidad de a $\mathbb{R}$.
Y funciona de la siguiente manera. Un $\sigma$-Álgebra $\mathcal{A}$ de un conjunto $\Omega$ fullfills los siguientes axiomas:
- $ \Omega \in \mathcal{A} $
- $ A\in \mathcal{A} \Rightarrow \Omega\setminus A\in\mathcal{A}$
- $ A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{k=1}^\infty A_k \in \mathcal{A}$
Ahora tenemos una función $\sigma$ que genera $\sigma$-Álgebras para un determinado subconjunto $\mathcal{G}\subset \mathscr{P}(\Omega)$ utilizando sólo los axiomas 1-3 sólo más a menudo de lo que $\mathbb{R}$ tiene elementos.
Como $\mathbb{N}$ es generado por $\{1\}$, si tomamos $1$ y, a continuación, añadimos $1$ a poner el resultado de la $2$ en nuestra serie. A continuación, tomamos $2$ y añadir $1$ hacia él y lo puso en nuestro set hasta que no podemos añadir algún elemento más, porque tenemos todos ya.
De nuevo al ejemplo, $\mathcal{G}$ se llama un generador de si $\sigma(\mathcal{G}) = \mathcal{A}$,$\Omega \in \mathcal{G}$.
Ahora bien, si queremos mostrar una declaración de $B(A)$ es cierto para todos los $A\in\mathcal{A}$ acabamos de mostrar:
- $B(G)$ es cierto para todos los $ G\in \mathcal{G}$
- $B(A)$ es cierto, entonces también es cierto para $ B(\Omega\setminus A)$
- $B(A_1),\ B(A_2),\ \cdots$ es cierto que también es cierto para $B\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)$
Así que aquí 1. muestra de que sabemos que la afirmación es verdadera para al menos una generación del sistema de $\mathcal{A}$, como en la inducción sabemos que la afirmación es verdadera para$\{1\}$, lo que genera $\mathbb{N}$$n+1$.
Y, a continuación, nos muestran que para las operaciones 2. y 3. como lo haríamos en la inducción donde se nos muestran por $n+1$.
Conclusión
Espero no confundir demasiado. Pero estoy seguro de que después de algún tiempo, usted acepta las inducciones y aprender a utilizarlas. Y si una vez de regreso aquí o tiene que explicárselo a alguien más, después de usarlo un montón de veces. Usted va a entender esto. A menudo encontramos personas de inducción contador-intuitiv, tengo algunas ideas de por qué, pero creo que realmente podría ir muy lejos. Así que mi sugerencia, aceptar en primer lugar, usar, tratar de explicarlo y que se han entendido y similares shemes.
