En irreductible factores de $x^{2^n}+x+1$ $\mathbb Z_2[x]$

Question

Demostrar que cada factor irreducible de $f(x)=x^{2^n}+x+1$ $\mathbb Z_2[x]$ tiene el grado $k$ donde $k\mid 2n$.

Edit. Sé que debería de alguna manera se relacionan la pregunta a una extensión de $\mathbb Z_2$ grado $2n$, decir $GF(2^{2n})$. Por este camino voy a ser capaz de corresponder a cada factor irreducible de $f(x)$ a un subcampo de la $GF(2^{2n})$, lo que evidentemente tiene un grado $k$ donde $k\mid 2n$.

Answer 1

Una respuesta a lo largo de la idea que tenía es que $t(x) = x^{2^n} + x$ es la función que calcula la traza de la extensión cuadrática $\mathbb{F}_{2^{2n}} / \mathbb{F}_{2^n}$. Así, cada elemento de a $\mathbb{F}_{2^{2n}}$ de los $1$ $\mathbb{F}_{2^n}$ es una raíz de $f(x)$. Como hay $2^n$ de estos, son todas las raíces de $f(x)$.