Abelian sub-C*-álgebras de

Question

Dado un no-abelian C*-álgebra $A$. Me pregunto ¿cuáles son los posibles abelian sub-C*-álgebras de $A$. Deje $K$ ser el espectro de $A$. Qué $A$ contienen una isomorfo copia (como un espacio de Banach) del espacio de $C(K)$? (si $A$ es abelian y unital, a continuación, que son de curso isométricamente indistinguibles).

Si la respuesta para mi pregunta es negativa, deje $L$ ser un espacio métrico compacto. Debe $A$ contienen $C(L)$?

Answer 1

Deje $ (A,\| \cdot \|_{A}) $ ser un no-conmutativa C$ ^{\ast} $-álgebra. Vamos a mostrar primero el que es relativamente fácil construir conmutativa C$ ^{\ast} $-subalgebras de $ A $.

Elija un elemento no nulo $ x \in A $. A continuación, $ x^{*} x $ es un no-cero auto-adjunto elemento de $ A $. Por qué $ x^{*} x $ debe ser distinto de cero se puede ver fácilmente desde la C$ ^{\ast} $-identidad $ \| x^{*} x \|_{A} = \| x \|_{A}^{2} $. Si tuviéramos $ x^{*} x = 0_{A} $, el C$ ^{\ast} $-identidad daría $ x = 0_{A} $, lo cual es una contradicción.

Ahora, considere la posibilidad de $$ C(x^{*} x) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \overline{ \{ p(x^{*} x) \en ~|~ \text {$ p \in \mathbb{C}[X] $$ p $no tiene término constante} \} }^{\| \cdot \|_{A}}. $$ Este es un no-trivial conmutativa C$ ^{\ast} $-subalgebra de $ A $. Por la propiedad Conmutativa de Gelfand-Naimark Teorema, es isométricamente $ ^{\ast} $-isomorfo a $ {C_{0}}(X) $ para algunas localmente compacto (aunque no necesariamente compacto) espacio de Hausdorff $ X $.

Si $ A $ pasa a ser unital, entonces podemos considerar también la posibilidad de $$ C(1_{A},x^{*} x) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \overline{ \{ p(x^{*} x) \en ~|~ p \in \mathbb{C}[X] \} }^{\| \cdot \|_{A}}, $$ que es un unital conmutativa C$ ^{\ast} $-subalgebra de $ A $. Esta vez, sin embargo, podemos encontrar un compacto Hausdorff espacio de $ K $ tal que $ C(1_{A},x^{*} x) = C(K) $.

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General C$ ^{\ast} $-álgebras, no tenemos una buena noción de 'espectro'. Idealmente, nos gustaría definir el espectro de una manera que nos permite recrear el éxito que Gelfand Dualidad ha tenido en la conmutativa caso, pero hasta ahora, no ha habido claros avances. Un enfoque posible es el topos de la espectral presheaves, que se describe en Andreas Döring notas del derecho de Algunos Pasos Hacia no conmutativa Gel'fand la Dualidad, pero todavía está en su etapa experimental.

Sin embargo, tenemos la siguiente definición de 'espectro' de general C$ ^{\ast} $-álgebras, que se adapta a la teoría de la C$ ^{\ast} $-álgebras asociadas con local topológicos compactos grupos.

Definición Del espectro de una C$ ^{\ast} $-álgebra $ A $ se define como el conjunto $ \hat{A} $ de los unitaria de clases de equivalencia de irreductible $ ^{\ast} $-representaciones de $ A $. Ponemos en $ \hat{A} $ la pre-imagen de la topología inducida por la natural mapa de $ \text{k}: \hat{A} \to \text{Prim}(A) $ donde $ \text{Prim}(A) $ es el conjunto de primitivas de los ideales de la $ A $ equipada con el Jacobson topología.

Parece ser una pregunta difícil de si existe o no un subespacio de Banach de $ A $ que es isomorfo a $ C(\hat{A}) $. Tengo el siguiente ejemplo en mente, sin embargo. Si $ A = K(\mathcal{H}) $ donde $ K(\mathcal{H}) $ es de la no-unital y no conmutativa la C$ ^{\ast} $-álgebra de operadores compactos en un no-trivial espacio de Hilbert $ \mathcal{H} $, $ \hat{A} $ es sólo el punto de espacio topológico. Por lo tanto, simplemente tenemos $ C(\hat{A}) \cong \mathbb{C} $, lo que claramente es isomorfo a uno-dimensional de Banach subespacio de $ A $.

En general, $ \hat{A} $ no es compacto, por lo que en lugar de $ C(\hat{A}) $, deberíamos estar buscando en $ {C_{0}}(\hat{A}) $ o $ {C_{b}}(\hat{A}) $ en cambio, como el supremum de la norma en función de estos espacios está bien definido. Sin embargo, sé muy poco acerca de estos objetos, así que tengo prácticamente nada más que ofrecer más allá de este punto. Cualquier contribución de otros miembros de la comunidad sería más que bienvenida! :)