Cómo probar que el ternario de Cantor función no está débilmente diferenciable?

Question

Estoy utilizando el estándar ternario de cantor función de $f$ aquí, como se cita en esta página de la Wikipedia.

Es un ejemplo de la continua, monótona creciente, pero no es estrictamente monótona creciente en función con cero derivado casi en todas partes. Pero, ¿cómo puedo demostrar que su débil/distributivos derivados no existen? Supongo que empezar asumiendo que no existe $ g \in L^1_\text{loc}(R)$ tal que $\int_R {f\phi'} = - \int_R{g\phi}$ todos los $\phi\in C_c^\infty (R)$. Y luego tengo que probablemente elegir el adecuado mollifiers $\phi_\epsilon$ y deje $\epsilon \to 0$. Pero estoy un poco atascado aquí; me podría dar una detallada de la prueba?

También, es el derivado de la $f$ una medida en el sentido distributivo?

Gracias !

Answer 1

Creo que tengo una respuesta, por favor, dame tu opinión .

Si es posible, se supone que el ternario de Cantor función de $f$ es débilmente diferenciable en a $[0,1]$. A continuación, la función continua $f$ es absolutamente continua en $[0,1]$ ( cualquier teoría de la PDE libro de la prueba: funciones de Sobolev $W^{1,p}(\text{interval }I)$ es de CA en que intervalo de $I$$p<\infty$), y por lo tanto los mapas de conjuntos de medida cero a los conjuntos de medida cero. Pero para el ternario de Cantor función de $f$, se asigna el conjunto de Cantor a un conjunto de medida 1, (ya en el complemento del conjunto de Cantor, $f$ es constante,y $f$ toma todos los valores entre a$0$$1$), lo cual es una contradicción.

Answer 2

Mostrar que si $I\subset[0,1]$ es uno de los intervalos en que $f$ es constante, entonces $g$ (el supuesto débiles derivados de $f$) debe ser igual a 0 en casi todo punto de $I$. Ello considerando los diversos $\phi\in C^\infty$ de fuga fuera de $I$. Ya que la unión de estos intervalos tiene una medida de $1$, el derivado $g$ debe desaparecer casi por todas partes en $[0,1]$, lo que no puede ser, porque $0=f(0)<f(1)=1$.