La evaluación de $\int \frac{1}{2+3 \sin\left(x\right)}$

Question

Estoy ayudando a mi hija en su cálculo de la tarea y ha sido muchos años para mí. El problema es $$ \int \frac{1}{2+3 \sin\left(x\right)} dx $$ De WolframAlpha, la sustitución debe ser $u = \tan\frac{x}{2}$. Una vez que tenga la sustitución, la solución es muy sencilla.

Mi pregunta es ¿cómo en la tierra usted viene para arriba con esa sustitución? Hay rúbricas/recetas? O es sólo la intuición?

Answer 1

Weierstrass Sustitución, $z=\tan(x/2)$, funciona bien en este tipo de integral: $$ \begin{align} \sin(x)&=\frac{2z}{1+z^2}\\[6pt] \cos(x)&=\frac{1-z^2}{1+z^2}\\[6pt] \mathrm{d}x&=\frac{2\mathrm{d}z}{1+z^2} \end{align} $$ Entonces $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2+3\sin(x)} &=\int\frac1{2+3\frac{2z}{1+z^2}}\frac{2\mathrm{d}z}{1+z^2}\\ &=\int\frac{\mathrm{d}z}{z^2+3z+1}\\ &=\int\frac{\mathrm{d}z}{(z+3/2)^2-5/4}\\ &=\frac1{\sqrt5}\int\left(\frac1{z+3/2-\sqrt{5/4}}-\frac1{z+3/2+\sqrt{5/4}}\right)\,\mathrm{d}z \end{align} $$ que es una forma simple (gracias a Michael Hardy para señalar parcial de las fracciones). Luego de vuelta-sustituto para obtener la respuesta en términos de $x$.