Si la secuencia $\{x_n\}$ satisface la propiedad de que $0 \leq x_{m+n} \leq x_n + x_m$ para todos $n$ , $m \in \mathbb{N}$ , demuestre que el límite de la secuencia $\left\{\frac{x_n}{n}\right\}_n$ existe. Proporcione un ejemplo de dicha secuencia.
Puedo demostrar que está acotada, pero no sé cómo demostrar que es monótona creciente (creo que es monótona creciente, no estoy seguro).
Fijemos el número $p$ y escribir $n = pm + k$ , donde $0 \leq k < p$ entonces tenemos
\begin{align} \frac{x_{pm+k}}{pm+k} &\leq \frac{x_{pm}}{pm+k} + \frac{x_k}{pm+k} \\ & \leq \frac{mx_p}{pm} + \frac{px_1}{pm} \end{align}
cuando enviamos $m$ al infinito, obtenemos $\limsup\frac{x_n}{n} \leq \frac{x_p}{p}$ ya que aquí $k $ sólo puede variar finitamente de 0 a $p-1$
Desde $p$ es arbitraria, podemos decir que $\exists N_1$ , tal que para todo $n \geq N_1$ , $\frac{x_n}{n} \leq \frac{x_1}{1}$ .
y $\exists N_2$ , tal que para todo $n \geq N_2$ , $\frac{x_n}{n} \leq \frac{x_{N_1}}{N_1}$
Si se continúa así, la secuencia $\frac{x_{N_k}}{N_k}, k = 1,2,\cdots$ es decreciente y está acotado para abajo por 0, por lo que su límite existe.
Y la conclusión sigue por $\limsup\frac{x_n}{n} \leq \frac{x_p}{p}$ para cualquier $p$ .
O como dice Zarrax en el comentario, podemos concluir directamente señalando $\limsup\frac{x_n}{n} \leq \liminf\frac{x_p}{p}$
Un ejemplo es tomar $a_n = \sqrt{n}$
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