Problemas de Álgebra Básica de Jacobson (Vol. I)

Question

Es la sección $4.4$ , número de ejercicio $5$ . Dice lo siguiente:

Dejemos que $F$ sea un campo de característica $p$ . Demostrar que $f(x)=x^p-x-a$ no tiene raíces múltiples y que $f(x)$ es irreducible en $F[x]$ si y sólo si $a\neq c^p-c$ para cualquier $c\in F$ .

$\bf{Proof:}$ En primer lugar, observamos que $f'(x)=-1$ Por lo tanto $\gcd(f,f')=1$ y vemos que $f$ no contiene raíces múltiples.

En segundo lugar, supongamos que $a=c^p-c$ para algunos $c\in F$ . Entonces tenemos que $$x^p-x-a=x^p-x-(c^p-c)=x^p-c^p-x+c=(x-c)^p-(x-c)=(x-c)((x-c)^{p-1}-1)$$ Por lo tanto, $f(x)$ es reducible. (Es decir, hemos demostrado que si $f$ es irreducible entonces $a\neq c^p-c$ para cualquier $c\in F$ ).

Para la inversa, yo estaba tratando de hacer algo a lo largo de las líneas consideran $E$ para ser un campo de división para $f(x)$ . Entonces, dejemos que $b$ sea una raíz de $f(x)$ en $E$ . Este $b$ satisface la identidad $b^p-b=a$ por lo que me gustaría mostrar la existencia de alguna raíz $b\in E$ para estar realmente en nuestro campo $F$ . Aquí es donde me quedé atascado.

Answer 1

Dejemos que $E$ sea un campo de división de $f(x)=x^p-x-a$ en $F$ . Sea $b\in E $ sea una raíz de $f$ . Entonces, para cualquier $n=1,2,\ldots,(p-1)$ el elemento $b+n$ también es una raíz de $F$ porque $$f(b+n)=(b+n)^p-(b+n)-a=(b^p-b-a)+(n^p-n)=0+0=0$$ (para ser precisos, $b+n$ es sólo una abreviatura de $b+(n\cdot 1_F)$ ). Porque $f$ es de grado $p$ ya hemos encontrado todas las raíces. Claramente, tenemos que $E=F(b)$ .

Dejemos que $g(x)\in F[x]$ sea el polinomio mínimo para $b$ en $F$ . Tenga en cuenta que $g\mid f$ porque $f(b)=0$ . Desde $E=F(b)$ tenemos que $[E:F]=\deg(g)$ .

Ahora bien, tenga en cuenta que $g(x-n)$ es el polinomio mínimo para $b+n$ en $F$ si cualquier polinomio irreducible mónico $h(x)\in F[x]$ con $\deg(h)<\deg(g)$ tenía $h(b+n)=0$ entonces $h(x+n)$ habría $b$ como raíz y aún así tener menor grado que $g$ , contradiciendo el hecho de que $g$ es $b$ El polinomio mínimo de la empresa.

Sea la factorización de $f$ en irreducibles mónicos sea $f=q_1 q_2\cdots q_r$ (no puede haber factores repetidos, porque eso daría lugar a raíces repetidas). Cada uno de los $q_i$ tiene como raíz al menos uno de los $b+k$ y por tanto (al ser mónico e irreducible) es su polinomio mínimo. Esto implica que $\deg(q_i)=\deg(g)$ para todos $i$ y por lo tanto $\deg(g)\mid \deg(f)=p$ . Por lo tanto, o bien

• $\deg(g)=p$ Por lo tanto $f=g$ es irreducible, o,

• $\deg(g)=1$ Por lo tanto $[E:F]=1$ Por lo tanto $b\in F$ .

Answer 2

Por el contrario, supongamos que $f$ es reducible. Entonces podemos escribir $f=\prod_{i=1}^k f_i$ para algún irreducible $f_i$ y algunos $k\in\mathbb N$ . Sabemos que el $f_i$ son factores distintos. Considere dos de los $f_i$ sin pérdida de generalidad, consideramos $f_1,f_2$ . Ahora considere $F[t]/(f_1)$ que contiene una raíz $b$ de $f_1$ que, en consecuencia, es una raíz de $f$ . Cualquier campo que contenga una raíz de $f$ contiene todas las raíces de $f$ . Así, $F[t]/(f_1)$ es un campo de división de $f$ en $F$ con $[F[t]/(f_1):F]=\deg f_1$ . Argumentamos de forma análoga para $f_2$ . Como los campos de división son isomorfos, concluimos que $\deg(f_1)=\deg(f_2)$ .

Por lo tanto, $f=\prod_{i=1}^k f_i$ donde todos los $f_i$ tienen el mismo grado, digamos $\deg(f_i)=n$ . Por lo tanto, $p=nk$ y así tenemos $n=1$ y $k=p$ o $n=p$ y $k=1$ . En el primer caso, vemos que $F$ contiene una raíz de $f$ contradiciendo nuestra hipótesis. En este último caso, $f$ es irreducible.