¿Qué deformaciones no lineales presentará un planeta que gira rápidamente?

Question

Es de conocimiento común entre los educados que la Tierra no es exactamente esférica, y parte de esto proviene de las fuerzas de marea y las inhomogeneidades, pero otra parte proviene de la rotación del propio planeta. La deformación debida al efecto de la rotación la hace más parecida a un esferoide oblato, o como yo preferiría, "como una tortita". He aquí un sitio que ilustra el comportamiento y la imagen:

Existe literatura que detalla las expectativas matemáticas para un planeta en rotación usando sólo las fuerzas hidrostáticas, por ejemplo, ver La teoría hidrostática de la tierra y sus implicaciones mecánicas . Me gusta imaginar una bola de agua en el espacio que se mantiene unida por su propia gravedad. Tampoco quiero desviarme de la consideración de sólo las fuerzas hidrostáticas (y gravitacionales) porque creo que es suficiente para esta discusión.

Parece que la solución del problema descrito está en términos de un pequeño cambio de radio en función del ángulo acimutal, o de la coordenada z si se toma como eje de rotación el eje z. Para ello se utiliza la simetría rotacional. En otras palabras, la deformación de la Tierra debida a la rotación no depende de la longitud.

Quiero preguntar sobre el caso extremo. Imaginemos un planeta que gira tan rápido que es un panqueque muy fino. ¿Qué ocurrirá en este caso? Tengo curiosidad:

• ¿Se ahueca el centro, creando una forma de dona?
• ¿Se romperá en un sistema de varios cuerpos?

Me parece que lo lógico sería que el caso de alta rotación se dividiera en 2 o más cuerpos separados. La razón es que un sistema de 2 cuerpos es estable y puede albergar un momento angular muy grande. Pero, ¿sería una inestabilidad lo que lleva a este caso? ¿Cuándo se produciría dicha inestabilidad y podría un cuerpo planetario en rotación deformarse en un tipo de forma diferente desde el principio, como una forma parecida a una mancuerna, que haría la transición a un sistema de 2 cuerpos de forma más lógica que la forma de tortita?

enlace de la imagen

En resumen, ¿cómo se puede transformar una forma de panqueque en una forma de mancuerna? ¿O lo haría? ¿Cuáles son las posibilidades del sistema descrito?

Answer 1

Para una prueba experimental, véase: Canicas líquidas http://adsabs.harvard.edu/abs/2001Natur.411..924A

(muro de pago) http://www.nature.com/nature/journal/v411/n6840/full/411924a0.html )

Para un artículo sobre la relatividad general, véase: Simulaciones precisas de la inestabilidad dinámica del modo de barra en la relatividad general completa http://adsabs.harvard.edu/abs/2007PhRvD..75d4023B

Básicamente, una vez que comience a aumentar la rotación, el panqueque se volverá inestable y hará una transición a una barra giratoria (mancuerna).

De todas formas creo que nadie ha visto que la barra se rompa en dos trozos. Típicamente se pierde materia de las regiones externas, se redistribuye el momento angular y vuelves a la axisimetría.

Saludos

Answer 2

Me he topado con un documento que presenta una solución a este problema. Primero, llegué a él a través del siguiente resumen (reciente) en línea de estas formas:

http://www.aleph.se/andart/archives/2014/02/torusearth.html

El documento está en Arvix:

Configuraciones de fluidos axisimétricos de rotación uniforme que se bifurcan a partir de esferoides de Maclaurin muy aplanados . Febrero de 2008.

Críticamente, la bifurcación a la que se hace referencia parece ser exactamente la que yo mencioné en esta pregunta. Siempre comienzan con un Esferoides de Maclaurin que es lo que yo llamaba "panqueque". Luego pasan por un proceso, y al final terminan con un toroide o múltiples objetos. Aquí está la imagen que ilustra la verdadera carne de sus descubrimientos:

Se puede ver en la imagen de la izquierda, que pasan de un panqueque a un simple toroide. El proceso de la derecha demuestra uno de los otros tipos de procesos que son físicos. Sin embargo, muchas configuraciones también dan con un límite de desprendimiento de masa . En esa situación, añadir más rotación hace que la gravedad aparente en el borde sea negativa. Obviamente, esto no funciona, por lo que el material "vuela al espacio". Pero eso no es del todo cierto, sólo se resta por necesidad matemática porque en realidad no tiene velocidad de escape.

Siguiendo... Estoy sorprendido. No esperaba ver el "pellizco" en el centro que se muestra arriba. Esto todavía no tiene sentido para mí, y no puedo llegar a un buen argumento de por qué sucede. Para que se incline hacia adentro, necesito poder postular una configuración de no-equilibrio donde el centro es plano o se inclina hacia afuera, y en esa configuración, las fuerzas/gravedad empujan el material fuera desde el centro. Esta es una proposición muy difícil de aceptar. Veo obvio en la física gravitacional o hidrostática que esto sea así. No obstante, los autores parecen haber hecho un trabajo excelente y minucioso con simulaciones informáticas completas que los respaldan con toda la complejidad del problema incluida. Así que parece que estoy equivocado al respecto.

Si la Tierra girara lo suficientemente rápido desde su estado actual, el polo sur y el polo norte se sumergirían hacia adentro . Esto es muy extraño, pero parece ser la respuesta correcta, según este documento.

Answer 3

@AlanSE: Mi lectura del artículo es que, más allá de una velocidad crítica de rotación, la forma de Maclaurin (C) se vuelve inestable ante pequeñas perturbaciones. Para el $\epsilon_1$ Si la perturbación va en una dirección (más gruesa en el centro), se alcanza el Límite de Desprendimiento de Masa (A), se desarrolla un borde afilado en el ecuador y se arroja el exceso de material al espacio. Si va en sentido contrario (más delgada en el centro), la torta se convierte en un toro (I,J,K,L).

Las demás perturbaciones son esencialmente armónicas superiores (axisimétricas). Una perturbación real podría ser una mezcla de varios armónicos, o incluso violar la axisimetría por completo. Pero si se mantiene la axisimetría, entonces el $\epsilon_k$ probablemente forman un conjunto de bases ortogonales que abarcan todo el espacio de perturbaciones axisimétricas.