Extensión de campo que contiene los vectores propios de una matriz de Hermitian

Question

Vamos a H a (finito-dimensional) Hermitian matriz con números algebraicos de sus entradas, todos los cuales se encuentran en un mínimo de extensión de campo de los números racionales; llamar a este campo ℚ(H) para el corto. Vamos a suponer que los autovalores de H son distintos, y dejar D ser la matriz diagonal de los valores propios de H en el no-orden creciente, dicen. Puesto que H es Hermitian con un no-degenerada espectro, existe una única matriz unitaria U que diagonalizes H. La normalizado vectores propios de H comprenden las columnas de la U. por último, vamos a ℚ(U,D) la extensión de campo de los racionales que contiene los elementos de la matriz de U y D.

Hay alguna relación entre la ℚ(H) y ℚ(U,D)? En particular, me gustaría saber un límite en el grado de ℚ(U,D)/ℚ(H). También si es posible, hay una manera de tomar H (sin diagonalizing!) y calcular ℚ(U,D)? También me gustaría ser feliz con algo que contiene ℚ(U,D) y no es que mucho más grande. (Me refiero, a su sólo es mayor por un factor que es constante o depende de la dimensión, no en el particular H.)

Answer 1

Qué se puede esperar algo menor que $n!\cdot 2^{n-1}$ donde $n$ es el tamaño de nuestra matriz $H$ ? Podemos obtener $n!\cdot 2^n$ la siguiente manera: con el fin De obtener las entradas de $U$ $D$ en nuestro campo, ampliamos nuestro campo paso a paso: en Primer lugar, se adhieren a todos los autovalores de la matriz (que son las raíces de un polinomio de grado $n$, es decir, el polinomio característico de a $H$, por lo que necesitamos una extensión de grado $n!$ en el peor de los casos), a continuación, encontramos los correspondientes vectores propios usando Gauss' eliminación algoritmo (esto no requiere una extensión de campo) y, a continuación, normalizar estos vectores propios (que requieren un campo de extensión de grado $2$ para cada vector propio, como tenemos que dividir por una raíz cuadrada). Hay un sutil punto aquí - necesitamos saber que durante cada paso de nuestro paso a paso de extensión de campo, el campo que tenemos es simétrica con respecto al eje real (i. e., para cada número complejo $z$ acostado en nuestro campo, su conjugado $z^{\ast}$ se encuentra en el campo). Esto es claro para nuestro campo inicial, $\mathbb{Q}\left(H\right)$ (de hecho, la matriz $H$ es Hermitian, por lo que para cada entrada contiene, también contiene su conjugado), y sigue siendo correcta durante toda la extensión de pasos que vamos a realizar (de hecho, cada uno de estos pasos se compone de colindantes _all_roots de ciertos real polinomio (en particular, el polinomio característico de a $H$ es real, y adyacente a la raíz cuadrada de la longitud de un vector significa contigua todas las raíces de un verdadero cuadrática), y es claro que este paso no destruir la simetría con respecto al $x$-eje). Añadir la observación de que sólo la primera $n-1$ vectores propios necesidad de una ecuación cuadrática de la extensión de la base de campo normalizado (debido a que el $n$-ésimo vector puede ser tomado como el (generalizada a $n$ dimensiones) de la cruz producto de la primera $n-1$), podemos bajar el $n!\cdot 2^n$ unido a $n!\cdot 2^{n-1}$. Al menos para $n=2$, esto también es óptima. Cualquier idea en mayor $n$?

Answer 2

Un caso especial es el siguiente:

Pick:

Un entero $n$ que es un cuadrado;

$$ H =F^{*} D F $$

una matriz con $n$ líneas y $n$ columnas

donde

$D$ es una diagonal matriz cuadrada con $n$ líneas y con coeficientes enteros $F$ es la transformada de Fourier de la matriz, con $n$ líneas definidas por

$$ F = (1/\sqrt{n}) (s^{(i-1)(j-1)}) $$

donde

$$ s = e^{-2 \pi i/n} $$

$*$ significa conjugar-transponer.

Usted obtener

$H$ es hermitian con entradas algebraica de los números enteros.

$H$ es también un circulantes de la matriz.

Escoja ahora:

$$ U =F^{*} $$

así que

$$ P(H) \subseteq Q(U) = Q(s) $$

mientras

$$ Q(U,D) = P(F^{*},D) = P(s). $$

Observar que $$ Q(s) $$ es el clásico de la extensión de $Q$ que contiene la $n$-th raíces de la unidad de modo que tiene un grado

$$ \varphi(n) $$

más de $Q$ donde $\varphi$ es el de Euler totient de la función.

Por lo tanto,

La extensión de $Q(U,D)$ $Q(H)$ tiene el grado $d$ acotada arriba por $\varphi(n).$

Observar que este grado $d$ es mucho más lenta que la $n !$ desde

$$ d \leq \varphi(n) < n. $$