Si $E[X|Y]=Y$ casi seguramente y $E[Y|X]=X$ casi seguramente, a continuación, $X=Y$ casi seguramente

Question

Suponga que $X$ $Y$ son dos variables aleatorias tales que $Y=E[X|Y]$ casi seguramente y $X= E[Y|X]$ casi seguramente. Demostrar que $X=Y$ casi seguramente.

La sugerencia que me dieron es evaluar: $$E[X-Y;X>a,Y\leq a] + E[X-Y;X\leq a,Y\leq a]$$

que puedo escribir como: $$\int_A(X-Y)dP +\int_B(X-Y)dP$$ where $A=\{X>a, Y\leq\}$ and $B=\{X\leq una,Y\leq\}$.

Pero necesito un poco más sugerencias.

Answer 1

Simplemente siga la pista... Primera nota de que, desde la $E(X\mid Y)=Y$ casi seguramente, para cada $c$, $$E(X-Y;Y\leqslant c)=E(E(X\mid Y)-Y;Y\leqslant c)=0,$$ and that, decomposing the event $[Y\leqslant c]$ into the disjoint union of the events $[X>c,Y\leqslant c]$ and $[X\leqslant c,Y\leqslant c]$, one has $$E(X-Y;Y\leqslant c)=U_c+E(X-Y;X\leqslant c,Y\leqslant c),$$ with $$U_c=E(X-Y;X>c,Y\leqslant c).$$ Since $U_c\geqslant0$, this shows that $$E(X-Y;X\leqslant c,Y\leqslant c)\leqslant 0.$$ Exchanging $X$ and $S$ and following the same steps, using the hypothesis that $E(Y\mid X)=X$ almost surely instead of $E(X\a mediados de Y)=Y$ almost surely, one gets $$E(Y-X;X\leqslant c,Y\leqslant c)\leqslant0,$$ that is $$E(Y-X;X\leqslant c,Y\leqslant c)=0,$$ which, coming back to the first decomposition of an expectation above, yields $U_c=0$, that is, $$E(X-Y;X>c\geqslant Y)=0.$$ This is the expectation of a nonnegative random variable hence $(X-Y)\mathbf 1_{X>c\geqslant Y}=0$ almost surely, which can only happen if the event $[X>c\geqslant Y]$ has probability zero. Now, $$[X>Y]=\bigcup_{c\in\mathbb Q}[X>c\geqslant Y],$$ hence all this proves that $P(X>Y)=0$. By symmetry, $P(Y>X)=0$ y ya está.

Answer 2

Si $X,Y$ son de cuadrado integrable nos puede dar una rápida prueba.

Considere la variable aleatoria $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$. Vamos a calcular la expectativa por el condicionamiento de a $X$. Tenemos $$\begin{align*} E[(X-Y)^2] &= E[E[(X-Y)^2 \mid X]] \\ &= E[E[X^2 - 2XY + Y^2 \mid X]] \\ &= E[X^2 - 2 X E[Y \mid X] + E[Y^2 \mid X]] \\ &= E[X^2 - 2 X^2 + E[Y^2 \mid X]] \\ &= E[-X^2 + Y^2]\end{align*}$$ Si nos condición en $Y$ en lugar conseguimos $E[(X-Y)^2] = E[X^2 - Y^2]$. La comparación de estos, vemos que tenemos $E[(X-Y)^2] = -E[(X-Y)^2]$, es decir,$E[(X-Y)^2]=0$. Esto significa $X=Y$ casi seguramente.

Por desgracia, no acabo de ver una manera de manejar el caso en que $X,Y$ son simplemente integrable, ya que en ese caso algunas de las expectativas utilizada anteriormente puede ser indefinido.

El reconocimiento de la prioridad. Después de escribir esto he encontrado (gracias a ¿) que, en esencia, la misma prueba fue dada por Michael Hardy en la esperanza Condicional y casi seguro de igualdad.