Yo soy incapaz de dar una respuesta apropiada, pero el problema puede ser algo
reducido y el ejemplo para $\tau=\sqrt{-7}$ es bastante fácil de demostrar.
Doy los detalles en la esperanza de que otros se pueden concentrar en el más
intrincadas cuestiones, tales como el alza de los números de la clase.
Vamos a escribir
$$\begin{align}
\operatorname{E}_4 &= \gamma_2\eta^8
& \gamma_2 &= \mathfrak{f}^8\mathfrak{f}_1^8 +
\mathfrak{f}^8\mathfrak{f}_2^8 -
\mathfrak{f}_1^8\mathfrak{f}_2^8
\\ \operatorname{E}_6 &= \gamma_3\eta^{12}
& \gamma_3 &= \frac{1}{2}\left(\mathfrak{f}^8 + \mathfrak{f}_1^8\right)
\left(\mathfrak{f}^8 + \mathfrak{f}_2^8\right)
\left(\mathfrak{f}_1^8 - \mathfrak{f}_2^8\right)
\end{align}$$
donde $\eta$ es la
Dedekind eta función
y $\mathfrak{f},\mathfrak{f}_1,\mathfrak{f}_2,\gamma_2,\gamma_3$ son modulares
Weber funciones.
A continuación, podemos dividir la tarea de evaluar el clásico de Eisenstein de la serie a
complejo cuadrática irrationals en las siguientes subtareas:
- Evaluar algunos modular (Weber) de la función, que le da una expresión algebraica valor.
Debido a la algebraica de las interrelaciones, la algebraica de la naturaleza lleva a
los valores de los otros modular funciones.
- Evaluar el peso de dar a eta factor, que introduce un
producto de los valores de la función Gamma.
Subtarea 1 ha sido rutinariamente hace un siglo atrás el uso de congruencias
y transformaciones, así como de los más avanzados métodos que no requieren
conocimiento de la estructura modular de la ecuación.
Ejercicios útiles y referencias se pueden encontrar en [BB87].
Como un ejemplo fácil, combinar e. g. las identidades básicas para Weber funciones
$$\begin{align}
\mathfrak{f}(\tau)\,&\mathfrak{f}_1(\tau)\,\mathfrak{f}_2(\tau)
= \sqrt{2}
& \mathfrak{f}(-\tau^{-1}) &= \mathfrak{f}(\tau)
\\ \mathfrak{f}^8(\tau) &= \mathfrak{f}_1^8(\tau) + \mathfrak{f}_2^8(\tau)
& \mathfrak{f}_1(-\tau^{-1}) &= \mathfrak{f}_2(\tau)
\end{align}$$
con el sistema modular de la ecuación
$$ \mathfrak{f}(\tau)\,\mathfrak{f}(7\tau) =
\mathfrak{f}_1(\tau)\,\mathfrak{f}_1(7\tau) +
\mathfrak{f}_2(\tau)\,\mathfrak{f}_2(7\tau)$$
y establecer $-\tau^{-1} = 7\tau$, entonces usted puede deducir
$\mathfrak{f}^3(\tau) = 2\sqrt{2}$.
Como eta cociente, $\mathfrak{f}(\tau)$ toma valores reales positivos
para el puramente imaginarias $\tau$, por lo $\mathfrak{f}(\tau) = \sqrt{2}$.
Entonces $\mathfrak{f}(\sqrt{-7}) = \mathfrak{f}(-\tau^{-1}) = \mathfrak{f}(\tau)
= \sqrt{2}$.
Ramanujan presentó valores de su clase invariantes $G_n$ $g_n$
que están estrechamente relacionadas con Weber $\mathfrak{f}$ resp. $\mathfrak{f}_1$
en $\tau=\sqrt{-n}$.
Asimismo, en [Web08], que también proporciona la teoría,
el apéndice contiene una tabla con Weber $\mathfrak{f}(\sqrt{-n})$
o $\mathfrak{f}_1(\sqrt{-n})$ bastante muchos enteros positivos valores de $n$.
A partir de cada valor, los valores correspondientes de la otra Weber funciones
se puede determinar de manera algebraica, e. g. para $\tau=\sqrt{-7}$ llegamos a
$$\begin{align}
\mathfrak{f}(\sqrt{-7}) &= \sqrt{2}
& \gamma_2(\sqrt{-7}) &= 255
\\ \mathfrak{f}_{1,2}(\sqrt{-7}) &= \sqrt[8]{8 \pm 3 \sqrt{7}}
& \gamma_3(\sqrt{-7}) &= 1539 \sqrt{7}
\end{align}$$
Subtarea 2 se puede intentar con un ${}_2F_1$basado en la representación, tales como
$$ \eta^2 = \frac{1}{\mathfrak{f}^4}{}_2F_1\left(
\frac{1}{4},\frac{1}{4};1;\frac{64}{\mathfrak{f}^{24}}\right)$$
como se presenta
en otra parte de este sitio.
De fondo para que la representación se da en la sección 5.4 en torno a la proposición 21
en [Zag08].
Sin embargo, la reducción de ese ${}_2F_1$ expresión para un determinado algebraicas valor de
$\mathfrak{f}^{24}$ a un producto de los valores de la función Gamma parece un largo aliento
y estéril, si no totalmente inviable, la ruta para mí. A grandes rasgos,
cada valor requerirá de una secuencia específica de aún más específico
${}_2F_1$ transformaciones, que es el opuesto directo a lo que realmente
quiero: Un método general, que no depende de mucho en el valor de $\tau$.
Estoy entrando en un terreno desconocido ahora, así que espero que me de obtener los datos correctos.
Subtarea 2 parece haber sido impulsado con una fórmula Lerch (1897)
que expresa un determinado producto de eta valores de la función en términos de
un producto de los valores de la función Gamma. Más de la mitad de un siglo más tarde,
tal cosa se hizo conocido como Chowla-Selberg
fórmula[CS67].
El producto eta en la misma contiene $h(-n)$ eta factores con argumentos
$\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$ donde $h(-n)$ es la
número de clase de el anillo de los enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$.
Para $h(-n)=1$, el Chowla-Selberg fórmula se puede utilizar para resolver
el valor de una función de eta. En particular, por un extraño prime $p$
con $h(-p)=1$, obtenemos
$$\begin{align}
\eta^4(\sqrt{-p}) &= \frac{1}{2\pi p\,\mathfrak{f}^4(\sqrt{-p})}
\left(\prod_{m=1}^{p-1}
\Gamma\left(\frac{m}{p}\right)^{\chi(m)}\right)^{w/2}
\\ &= \frac{1}{(2\pi)^{1+w\frac{p-1}{4}}p^{1-\frac{w}{4}}
\mathfrak{f}^4\left(\sqrt{-p}\right)}
\left(\prod_{\chi(m)=1} \Gamma\left(\frac{m}{p}\right)\right)^w
\end{align}$$
donde $\chi(m) = \left(\frac{m}{p}\right)_2$ es la
Símbolo de Legendre, y
$w$ es el número de unidades en el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$.
- Tenga en cuenta que la fórmula anterior para $\eta^4(\sqrt{-p})$ contiene
$\mathfrak{f}^4(\sqrt{-p})$, así que usted todavía necesita subtarea 1.
Alternativamente, se nota que
$\mathfrak{f}(\tau)\,\eta(\tau) =
(-1)^{-1/24}\eta\left(\frac{\tau+1}{2}\right)$,
por lo tanto, la Chowla-Selberg fórmula le da
$\eta^4\left(\frac{\sqrt{-7}+1}{2}\right)$ directamente.
Para $p = 7$ obtenemos así
$$ \eta^4(\sqrt{-7}) = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{7}\right)
\Gamma\left(\frac{2}{7}\right) \Gamma\left(\frac{4}{7}\right)}
{56\,\pi\,\Gamma\left(\frac{3}{7}\right) \Gamma\left(\frac{5}{7}\right)
\Gamma\left(\frac{6}{7}\right)}
= \frac{\left(\Gamma\left(\frac{1}{7}\right)
\Gamma\left(\frac{2}{7}\right) \Gamma\left(\frac{4}{7}\right)\right)^2}
{64\,\pi^4 \sqrt{7}}$$
y la combinación de esta con los valores de $\gamma_2$ $\gamma_3$ tenemos
$$\begin{align}
\operatorname{E}_4 &= \frac{255\left(\Gamma\left(\frac{1}{7}\right)
\Gamma\left(\frac{2}{7}\right) \Gamma\left(\frac{4}{7}\right)\right)^4}
{28672\,\pi^8}
\\ \operatorname{E}_6 &= \frac{1539\left(\Gamma\left(\frac{1}{7}\right)
\Gamma\left(\frac{2}{7}\right) \Gamma\left(\frac{4}{7}\right)\right)^6}
{1835008\,\pi^{12}}
\end{align}$$
como usted ha mencionado.
Para $h(-n)>1$, el restante problema era aislar individuales
eta valores del producto. Se ha progresado a superar
las limitaciones intrínsecas de los métodos anteriores.
Me referiré a [Har04] o [CH05] para un método que se basa en los resultados
por Williams et al., van der Poorten, Chapman, y Hart desde alrededor del año 2000.
No he visto, así que no puedo decir si esta
el método también mejora la subtarea 1, o lo utiliza como un bloque de construcción, o ambos.
Referencias
[BB87] J. M. Borwein y P. B. Borwein: Pi y la junta general de accionistas, Wiley 1987,
ISBN 0-471-83138-7.
[CH05] R. Chapman y W. B. Hart: Evaluación de la Dedekind eta función.
En: Canadá Matemática Boletín 49 (2006), pp 21-35.
DOI: 10.4153/CMB-2006-003-1.
[CS67] S. Chowla y A. Selberg: En el virus de Epstein de la función zeta.
En: Crelles Journal für die reine und angewandte Mathematik 227 (1967),
p 86-110. Disponible en línea.
[Har04] W. B. Hart: Evaluación de la Dedekind Eta Función.
Tesis doctoral 2004, de la Universidad Macquarie, Sydney.
[Web08] H. Weber: Lehrbuch der Álgebra, Vol. III. En alemán.
AMS Chelsea Publicación, 3ª edición de 1961, ISBN 0-8218-2971-8.
Reimpresión 2001, 1ª edición de 1908.
[Zag08] Don Zagier: Elíptica formas modulares y sus aplicaciones.
En: Kristian Ranestad (ed.): El 1-2-3 de las formas modulares. Springer, 2008,
DOI: 10.1007/978-3-540-74119-0.
