Galois sobre Galois

Question

Estoy trabajando en este ejercicio:

Si $E$ es un eld intermedio de una extensión $F/K$ de los elds. Supongamos que $F/E$ y $E/K$ son extensiones de Galois, y cada $\sigma\in Gal(E/K)$ es extensible a un automorfismo de $F$ entonces demuestre que $F/K$ es Galois.

Puedo ver que cualquier $\sigma$ extendida sobre $F$ fija elementos en $K$ pero no en $E-K$ . Pero cómo demostrar que no fija elementos en $F-E$ ?

Sólo sugerencias, por favor, esto es una tarea.

p.d. usamos a Kaplansky, él no requiere que las extensiones de Galois sean de dimensión finita.

Answer 1

Aquí hay una solución completa del problema. Dado que el OP ya lo resolvió, creo que no hay daño en escribir una solución completa de la misma aquí.

Denotamos por $Aut(K/k)$ el grupo de automorfismos de una extensión de campo $K/k$ . Dejemos que $K/k$ sea un campo de extensión algebraica no necesariamente finito. Si $K$ es normal y separable sobre $k$ decimos que $K/k$ es Galois. Si $K/k$ es Galois, escribimos $G(K/k)$ en lugar de $Aut(K/k)$ .

Necesitamos la siguiente caracterización de un campo de extensión de Galois.

Lema Un campo de extensión algebraico $K/k$ es Galois si y sólo si el subcampo fijo de $K$ por $Aut(K/k)$ es $k$ .

Prueba. Supongamos que $K/k$ es Galois. Sea $\alpha \in K - k$ . Dejemos que $f(X)$ sea el polinomio mínimo de $\alpha$ en $k$ . Desde $K/k$ es normal y separable, existe una raíz $\beta$ de $f(X)$ tal que $\alpha \ne \beta$ y $\beta \in K$ . Sea $\sigma\colon k(\alpha) \rightarrow k(\beta)$ sea el único isomorfismo tal que $\sigma(\alpha) = \beta$ . Desde $K/k$ es normal, $\sigma$ puede extenderse a un automorfismo $\sigma'$ de $K/k$ . Desde $\sigma'(\alpha) = \beta$ hemos terminado.

A la inversa, supongamos que el subcampo fijo de $K$ por $G = Aut(K/k)$ es $k$ . Sea $\alpha$ sea un elemento de $K$ . Sea $f(X)$ sea el polinomio mínimo de $\alpha$ en $k$ . Desde $\sigma(\alpha)$ es una raíz de $f(X)$ por cada $\sigma \in G$ , el conjunto $S = \{\sigma(\alpha)\mid \sigma \in G\}$ es finito. Sea $\sigma_1, \cdots, \sigma_m$ sean elementos de $G$ tal que $\sigma_1(\alpha), \cdots, \sigma_m(\alpha)$ son distintos por pares y $S = \{\sigma_1(\alpha), \cdots, \sigma_m(\alpha) \}$ . Sea $g(X) = (X - \sigma_1(\alpha))\cdots (X - \sigma_m(\alpha))$ . Dado que cada coeficiente de $g(X)$ se fija en $G$ , $g(X) \in k[X]$ . Desde $g(\alpha) = 0$ , $g(X)$ es divisible por $f(X)$ . Dado que cada $\sigma_i(\alpha)$ es una raíz de $f(X)$ , $g(X) = f(X)$ . Por lo tanto, $\alpha$ es separable sobre $k$ y $K/k$ es normal. Esto completa la demostración del lema.

Ahora dejemos que $F/K, E/K$ sea como en el problema. Por el lema, basta con demostrar que el subcampo fijo de $F$ por $Aut(F/K)$ es $K$ . Supongamos que $\alpha \in F$ se fija en $Aut(F/K)$ . Desde $G(F/E) \subset Aut(F/K)$ , $\alpha$ se fija en $G(F/E)$ . Por lo tanto, $\alpha \in E$ por el lema. Como cada elemento de $G(E/K)$ se extiende a un elemento de $Aut(F/K)$ , $\alpha$ es fijo $G(E/K)$ . Por lo tanto, $\alpha \in K$ por el lema. Esto completa la prueba.

Answer 2

Creo que la respuesta anterior supone que $F/K$ es algebraico y aunque la mayoría de las veces cuando consideramos extensiones de galois suponemos que también son algebraicas, este problema se puede resolver sin suponerlo y de forma más breve.

Dejemos que $u\in F-K$ tenemos que demostrar que existe un $K$ -automorfismo $\sigma:F\to F$ tal que $\sigma(u)\neq u$ . Consideremos dos casos:

1. $u\in E$ . Desde $E/K$ es galois hay un $K$ -automorfismo $\theta:E\to E$ tal que $\theta(u)\neq u$ ampliamos esta $\theta$ a un $K$ -automorfismo $\sigma:F\to F$ y hemos terminado.

2. $u\notin E$ . Desde $F/E$ es galois hay un $E$ -automorfismo $\sigma:F\to F$ tal que $\sigma(u)\neq u$ y esto también es un $K$ -automorfismo ya que $K\subset E$