$\lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor$ es impar

Question

¿Cómo puedo demostrar que $\lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor$ es impar y que $2^{n+1}$ divide $\lfloor (1+\sqrt{3})^{2n} \rfloor+1$ ?

$$u_{n}=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}2^{n-k}(3^{k/2}+(-1)^k3^{k/2})\in\mathbb{2N}$$

$$0\leq (2-\sqrt{3})^n \leq1$$

$$(2+\sqrt{3})^n\leq u_{n}\leq 1+(2+\sqrt{3})^n$$

$$(2+\sqrt{3})^n-1\leq u_{n}-1\leq (2+\sqrt{3})^n$$

$$\lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor=u_{n}-1\in\mathbb{2N}+1$$

Answer 1

Pista para la primera parte: Considere el $u_n = (2+\sqrt{3})^{n} + (2-\sqrt{3})^{n}$. Demostrar que $u_n$ siempre es un número entero y que $u_n = \lceil (2+\sqrt{3})^n \rceil$. El uso que $(2-\sqrt{3})^{n}\to 0$.

(Esto ya ha sido incorporado en la edición pregunta.)

Pista para la segunda parte: Considere el $v_n = (1+\sqrt{3})^{n} + (1-\sqrt{3})^{n}$. Encontrar un segundo orden de recursión para $v_n$ basado en la ecuación de segundo grado que define a $1\pm\sqrt{3}$.

Answer 2

Usted puede utilizar las recurrencias, tales como $$f(n)=4f(n-1)-f(n-2)+2$$ or $$f(n)=5f(n-1)-5f(n-2)+f(n-3)$$ starting at $f(0)=1, f(1)=3$.

A continuación, se muestran los distintos resultados por inducción.