¿Pueden dos disjuntos no vacíos conjuntos convexos en un espacio vectorial estar separados por un hyperplane?

Question

Deje $V$ ser una normativa espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, y deje $A$ $B$ dos disjuntos no vacíos subconjuntos convexos de $V$. Una forma geométrica de Hahn-Banach Teorema establece que $A$ $B$ pueden ser separados por un cerrado hyperplane (es decir, $f \in V^\ast$ $\alpha \in \mathbb{R}$ tal que $f(a) \le \alpha, \forall a \in A$$\alpha \le f(b), \forall b \in B$) si cualquiera de las $A$ o $B$ está abierto, o $A$ es cerrado y $B$ es compacto. (Esta afirmación no es en el pleno de la generalidad.) Hay ejemplos de dos disjuntos no vacíos conjuntos convexos que no pueden ser separados por un cerrado hyperplane.(Estos conjuntos convexos no satisfacen la condición de la instrucción anterior.)

Mi pregunta es: Si la separación de hyperplane no necesita ser cerrado, puede cualquier par de disjuntos no vacíos conjuntos convexos estar separados por un hyperplane? Más precisamente, para cualquier espacio vectorial $V$ $\mathbb{R}$ y dos disjuntos no vacíos subconjuntos convexos $A$$B$$V$, ¿existe un funcional lineal $f:V\to\mathbb{R}$ y un número real $\alpha\in\mathbb{R}$ tal que $f(a) \le \alpha, \forall a \in A$$\alpha \le f(b), \forall b \in B$?

Esta pregunta no implica ninguna conceptos topológicos. Para el finito dimensionales caso, se sabe que la separación es posible. ¿Qué pasaría si el subyacente el espacio es infinito dimensional?

Answer 1

He editado este post, porque no he entendido el problema. Sin embargo la solución es casi el mismo. Por favor, compruebe.

Vamos a demostrar que no es un espacio vectorial $V$ y dos subconjuntos convexos de $V$, $A$ y $B$, de tal manera que la única funcional $f\in V^*$ con la siguiente propiedad es el cero funcional. La propiedad es para todos los $a\in A$$b\in B$, $\alpha\in \mathbb{R}$ tal que $f(a)\leq\alpha\leq f(b)$.

Considere el espacio vectorial real de secuencias de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.

Deje $A$ ser el subespacio de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ formado por secuencias con un número finito distinto de cero de coordenadas. Observe que $A$ es convexo, ya que es un espacio vectorial.

Deje $B$ ser el subconjunto de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ formado por secuencias de no números negativos convergentes a $0$ con infinitamente muchos no cero de coordenadas. Observe que $A\cap B=\emptyset$ y cualquier combinación convexa de los elementos de la $B$ pertenece a $B$, lo $B$ también es convexo.

Ahora, vamos a $V=\text{span } A\cup B$. Deje $f\in V^*$ ser cualquier funcional lineal tal que $f(a)\leq\alpha\in\mathbb{R}$, para cada $a\in A$. Desde $A$ es un subespacio, la única posibilidad es $f(a)=0$, para cada $a\in A$.

Supongamos que $f(b)\geq 0$ por cada $b\in B$.

Deje $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}\in B$ y el aviso de que $(\sqrt{b_n})_{n\in\mathbb{N}}\in B$. Deje $k>0$.

Observe que $\dfrac{\sqrt{b_n}}{k}-b_n=\sqrt{b_n}(\dfrac{1}{k}-\sqrt{b_n})$ y desde $(\sqrt{b_n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge a$0$, $N\in\mathbb{N}$ tal que $\dfrac{1}{k}-\sqrt{b_n}> 0$$n>N$. Por lo tanto, $\dfrac{\sqrt{b_n}}{k}-b_n\geq 0$$n>N$.

Definir $c_n=0$$n\leq N$$c_n=\dfrac{\sqrt{b_n}}{k}-b_n$$n>N$. Por lo tanto, $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}\in B$.

A continuación, defina $d_n=\dfrac{\sqrt{b_n}}{k}-b_n$$n\leq N$$d_n=0$$n>N$. Por lo tanto, $(d_n)_{n\in\mathbb{N}}\in A$.

Por lo tanto,$(\dfrac{\sqrt{b_n}}{k})_{n\in\mathbb{N}}-(b_n)_{n\in\mathbb{N}}=(c_n)_{n\in\mathbb{N}}+(d_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Ahora, $f((\dfrac{\sqrt{b_n}}{k}))-f((b_n))=f((c_n))+f((d_n))=f((c_n))\geq 0$ $$\frac{1}{k}f((\sqrt{b_n}))\geq f((b_n))\geq 0.$ $

Desde $k$ es arbitrario. Esta desigualdad implica que $f((b_n)_{n\in\mathbb{N}})=0$. Ahora, $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es cualquier elemento de $B$. Por lo tanto, $f(b)=0$ por cada $b\in B$.

Desde $f\in V^*$$V=\text{span }A\cup B$$f=0$.