Diferentes normas para anotar los cuantificadores lógicos de manera formal

Question

¿Cuáles son las formas estándar de escribir expresiones matemáticas que implican cuantificadores de una manera (semi)formal? En diferentes posts míos sobre cuestiones similares he encontrado para una expresión genérica del tipo "para todos $x \in I$ y $y \in J$ sostiene $P(x,y)$ " las siguientes convenciones de escritura

1) $ \forall y \in J \ \ \forall x \in I: P(x,y)$ (así es como normalmente escribía las declaraciones de manera formal; a veces también como $ \forall y \in J: \ \ \forall x \in I: P(x,y)$ ;no sé si es estándar)

2) $( \forall y)( \forall x)(x \in I \land y \in J \Rightarrow P(x,y))$ (en la respuesta aceptada de este pregunta)

3) $( \forall y: \ y \in J) ( \forall x: \ x \in I) (P(x,y))$ (forme la misma respuesta que arriba)

4) $ \forall y \ \forall x\ (x \in I \land y \in J \Rightarrow P(x,y))$ (en la respuesta aceptada de este pregunta)

5) $( \forall y \in J )( \forall x \in I) [P(x,y)] $ (en la respuesta aceptada de este pregunta).

( (espero haberlos "generalizado" correctamente, porque en algunos puntos, se escribieron sólo para una variable, por ejemplo 3) fue escrito como $( \forall x: \ x \in I) (P(x))$ )

¿Podría decirme cuáles son generalmente aceptadas y si hay un estándar de cómo deben ser escritas?

(Creo que la legibilidad única debería ser un criterio y no estoy seguro de que la forma en que estoy acostumbrado a escribir la expresión matemática lo satisfaga)

Answer 1

Como muestra su propia encuesta, no hay un estándar real aquí. En general es aceptable escribir lo que sea probable que se entienda excepto quizás en un entorno de clase donde la notación formal en sí mismo es el tema del curso, más que una simple habilidad de fondo.

El espacio de diseño puede clasificarse aproximadamente como

1. Puntuación. ¿Paréntesis/corchetes alrededor del cuantificador? ¿Colón, espacio o punto? (Los puntos parecen encontrarse principalmente entre los informáticos, quizás influenciados por el cálculo lambda). ¿Paréntesis alrededor de la fórmula del cuerpo? A nadie le importan realmente estas opciones, excepto que, como siempre, ser consistente dentro de un libro o papel es una ventaja.

2. Múltiples cuantificadores. Algunos autores permiten que múltiples cuantificadores del mismo tipo se colapsen en una sola pieza de sintaxis, como $( \forall x, y)P(x,y)$ en lugar de $( \forall x)( \forall y)P(x,u)$ . Esto es casi siempre tratada como una abreviatura.

3. Precedente. Cuando la sintaxis no incluye corchetes explícitos alrededor de la fórmula corporal, surge el problema de delimitar el alcance del cuantificador. ¿Acaso $ \forall x : \phi \to \psi $ significa $( \forall x: \phi ) \to\psi $ o $ \forall x:( \phi\to\psi )$ ? Hay un riesgo real de malentendido aquí, y desafortunadamente no parece haber un consenso real sobre la fuerza de unión (al menos no si incluimos la informática). Las metamatemáticas formales generalmente insisten en tener todo completamente entre paréntesis en principio, pero rara vez se adhieren a esto en la ejecución del texto de todos modos. Cuando haya alguna duda, ¡ponga demasiados paréntesis en lugar de pocos!

4. Límites. Aquí hay una verdadera distinción. En lógica formal los cuantificadores "reales" casi siempre están "desnudos" y se extienden por todo el universo. La mayoría de las presentaciones permiten límites dentro de los cuantificadores en notación informal, pero insisten en que son realmente abreviaturas de, digamos $ \forall x(x \in I \to \phi (x))$ o $ \exists x(x \in I \land \phi (x))$ . Por otra parte, en gran parte de las matemáticas fuera de lógica formal, el significado mismo de muchas anotaciones cortas (como $x^y$ o $x'$ o $x^*$ o $x(y)$ o $xy$ ) dependen de qué tipo de cosas $x$ y $y$ son. En tal escenario, un cuantificador "desnudo" llevaría a una confusión y ambigüedad intolerables, por lo que las matemáticas cotidianas casi siempre utilizan algún tipo de límites explícitos en los cuantificadores que dicen al menos sobre qué se extiende la variable. Se entiende generalmente que si necesitamos traducir una fórmula cotidiana a la lógica formal, tendremos que expandir el límite a una "abreviatura de lógico", y utilizar la información de los límites para averiguar qué despliegue formal de $x^*$ para utilizar en el ámbito del cuantificador.

Al menos el símbolos $ \forall $ y $ \exists $ son bastante universales hoy en día. En la literatura lógica más antigua (antes de aproximadamente 1950) se puede encontrar una desconcertante variedad de notaciones de cuantificación que no incluyen estos símbolos. Por ejemplo, la prueba de incompletitud original de Gödel $ \forall x. \phi $ como " $x \Pi ( \phi )$ " en una parte del desarrollo y como " $(x)[ \phi ]$ " en otro.

Answer 2

Cada libro tiene su propio estándar, y los detalles lo hacen muy de autor a autor. Como usted dice, la legibilidad única es uno de los principales requisitos, junto con la capacidad de realizar manipulaciones sintácticas con eficacia.

Hay dos áreas generales de variación en la definición formal:

• Los cuantificadores pueden escribirse entre paréntesis " $( \forall x)$ " o no " $ \forall x$ ".

• La matriz puede estar incrustada en un par o paréntesis " $ \forall x\,(P(x))$ " o no " $ \forall x\,P(x)$ ".

Los libros de lógica matemática generalmente no usan colones o puntos para separar partes de la fórmula. La gente con conocimientos de informática parece más propensa a escribir con dos puntos, según mi experiencia.

En la escritura normal a veces reemplazamos los paréntesis con corchetes para facilitar la legibilidad humana, pero en los tratamientos formales es más común tener sólo paréntesis.

Los cuantificadores de límites normalmente se escriben como " $( \forall x \in Z)P(x)$ ", con las variaciones de las dos primeras balas. " $( \forall x : x \in Z)P(x)$ " no es en absoluto común en la impresión.

La idea implícita que tienen la mayoría de los autores es que, aunque existe una definición formal de una fórmula bien formada que utilizan, las fórmulas reales que escriben en prosa pueden no ser fórmulas bien formadas. Se espera que el lector traduzca los símbolos de la página en la fórmula bien formada apropiada. Por ejemplo, puede ser que la definición requiera paréntesis como " $( \forall x)((P(x) \lor Q(x)) \lor R(x))$ "pero la mayoría de los autores sólo escribirían" $( \forall x)(P(x) \lor Q(x) \lor R(x))$ "y esperar que el lector inserte paréntesis si es necesario.