De curso $\mathbb{R}$ es un campo con la costumbre de la adición y la multiplicación. Cuando nos movemos de una dimensión en $\mathbb{R}^2$, sin embargo, no hay un camino claro para multiplicar dos vectores para obtener algo útil. En efecto, si definimos la multiplicación de dos vectores en componentes sabio (como es, posiblemente, la forma más natural), obtenemos algo que no es ni siquiera una parte integral de dominio. Sin embargo, si ponemos en práctica la multiplicación $$ (a, b)(c, d) \mapsto (ac - bd, ad + bc), $$ entonces obtendremos una copia de $\mathbb{C}$, en tanto que es un campo. Podemos hacer esto por las dimensiones superiores? Que es, hay algunas inteligente multiplicativo estructura en $\mathbb{R}^3$ que produce un campo? $\mathbb{R}^n$?
Respuestas
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Es una consecuencia de la teoría de la característica de las clases de vector de paquetes que la existencia de un producto bilineal $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ sin divisores de cero implica que $n$ es una potencia de 2. De hecho, sólo es posible para $n=1,2,4,8$ donde en las dimensiones 4 y 8 tenemos cuaterniones y octonions tanto de que no son campos porque conmutatividad falla para ambos y la asociatividad del producto de la falla de la octonions.
No, no hay ningún campo de extensión de $\mathbb R$ grado $n$ otros que para $n=2$, y tenemos algo isomorfo a los números complejos.
Al menos en retrospectiva, esto no es tan sorprendente, si no es "obvio", porque $\mathbb C$ es algebraicamente cerrado (a partir del teorema de Liouville, un corolario de Cauchy de teoremas).
Sí, de alguna manera, esto es lamentable, ya que ciertos escenarios son excluidos. Un ejemplo de una forma de sortear estos obstáculos es Hamilton creación de "cuaterniones", una de cuatro dimensiones $\mathbb R$-vectorspace, que por desgracia (y sorprendentemente, tittilatingly, en Hamilton) produce un no-conmutativa ... cosa.
Es decir, $\mathbb R$ es "tan cerca" de ser algebraicamente cerrado que sólo admite algo isomorfo a $\mathbb C$ literal de extensión de campo. Y, tal vez incluso más decepcionante, sólo $\mathbb H$ división de extensión de álgebra.
Un álgebra de clifford le da una forma natural de hablar acerca de los productos de vectores, el uso de la geometría del producto. El geométrica del producto de vectores es asociativa y distributiva. Si $a, b, c$ son vectores, entonces
$$(a + b) c = ab + ac, \quad a(b+c) = ab + ac, \quad (ab)c = a(bc) = abc$$
Estos productos de varios vectores, junto con sus combinaciones lineales, se conocen como multivectors. Clifford, o "geométrica", álgebra así se forma un anillo. Sin embargo, usted podría darse cuenta de que me fui de conmutatividad de la multiplicación. El geométrica del producto es no , en general, conmutativa, así, mientras que un campo no puede en general ser construido de esta manera, la estructura de anillo de un álgebra geométrica puede ser muy útil y se generaliza a todas las dimensiones.
