Subgrupos de $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{12}$ de orden $6$

Question

Cuáles son los subgrupos de $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{12}$ de orden $6$ ? Sé que hay tres subgrupos de este tipo y dos subgrupos están claros para mí, a saber, el subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}_6$ y el subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3$ . Pero no puedo ver el otro. Por favor, ayuda.

Answer 1

Se puede descomponer $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_{12}$ en $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3$ . Es evidente que cualquier grupo de orden $6$ contendrá $\mathbb{Z}_3$ . ¿Dónde más puede conseguir su $2$ ¿de?

Pista: Supongo que has pensado en conseguir el $2$ de $(1,0,0)$ y $(0,2,0)$ . ¿Por qué no ambos?

Answer 2

Alternativamente, cualquier grupo abeliano de orden $6$ es cíclico, por lo que hay que encontrar todos los elementos de su grupo de orden $6$ y entonces sólo hay que darse cuenta de que dos de ellos generan el mismo subgrupo si y sólo si son iguales o inversos aditivos.

Answer 3

No estoy seguro de lo que quiere decir con "isomorfo a $\mathbb Z_6$ ". Todos los grupos de orden $6$ son isomorfas a $\mathbb Z_6$ .

Aquí, los tres subgrupos de orden $6$ son los generados por $(0,2)$ , $(1,2)$ y $(1,4)$ . A saber, $$ A_1=\{(0,0),(0,2),(0,4),(0,6),(0,8),(0,10)\}, $$ $$ A_2=\{(0,0),(1,2),(0,4),(1,6),(0,8),(1,10)\} $$ $$ A_3=\{(0,0),(1,4),(0,8),(1,0),(0,4),(1,8)\} $$