Hallar el límite de $x_n^3/n^2$ si $x_{n+1}=x_{n}+1/\sqrt{x_n}$

Question

Consideremos una secuencia $(x_n)$ , $n \geq 0$ con $x_0>0$ y para cualquier $n$ número natural, $$x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}}.$$ Estoy obligado a ca $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{x_n^3}{n^2}$$

Answer 1

La ecuación diferencial asociada es $\xi'(t)=\frac1{\sqrt{\xi(t)}}$ cuyas soluciones son $\xi(t)^{3/2}=\frac32t+C$ . Esto sugiere observar la secuencia $(z_n)$ definido por $z_n=x_n^{3/2}$ . Así, $$ z_{n+1}=z_n(1+z_n^{-1})^{3/2}. $$ Primero, $(1+u)^{3/2}\geqslant1+\frac32u$ para cada $u\geqslant0$ de ahí $z_{n+1}\geqslant z_n+\frac32$ Así pues $z_n\geqslant\frac32n+z_0$ y en particular $z_n\to+\infty$ .

Por otro lado, $(1+u)^{3/2}\leqslant1+\frac32u+\frac38u^2$ para cada $u\geqslant0$ de ahí $z_{n+1}\leqslant z_n+\frac32+\frac38z_n^{-1}$ . Esto demuestra que $z_n\leqslant\frac32n+z_0+\frac38t_n$ con $t_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}z_k^{-1}$ . Desde $z_n\to+\infty$ , $t_n=o(n)$ y $z_n\leqslant\frac32n+o(n)$ . Por fin, $\frac{z_n}n\to\frac32$ de ahí $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n^3}{n^2}=\frac94. $$

Answer 2

Había una errata en la pregunta, así que vamos a explorar una solución un poco más general.

Supongamos que existe un límite finito positivo de $\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{n^k} = c$ para algunos $c$ y $k$ .

Entonces, para grandes $n$ , $x_n \approx c n^k$ y $x_{n+1}-x_n \approx \dfrac{1}{\sqrt{c} n^{k/2}}$ pero tomando $n$ como real $\frac{dx}{dn} \approx kcn^{k-1}$ . Para que estas dos correspondan necesitas $k-1=-k/2$ y $kc=1/\sqrt{c}$ que tienen las soluciones $k=\dfrac{2}{3}$ y $c=\sqrt[3]{\dfrac94}$ .

Por tanto, el límite de $\dfrac{x}{n^{2/3}}$ es $\sqrt[3]{\dfrac94}$ y de $\dfrac{x^3}{n^{2}}$ es ${\dfrac94}$ .

Para una prueba formal, véase la respuesta de did.