Consideremos una secuencia (xn) , n≥0 con x0>0 y para cualquier n número natural, xn+1=xn+1√xn. Estoy obligado a ca lim
Puede haber un error tipográfico en la pregunta, los exponentes 2 y 3 que se intercambian en x_n^2/n^3 .
Consideremos una secuencia (xn) , n≥0 con x0>0 y para cualquier n número natural, xn+1=xn+1√xn. Estoy obligado a ca lim
La ecuación diferencial asociada es \xi'(t)=\frac1{\sqrt{\xi(t)}} cuyas soluciones son \xi(t)^{3/2}=\frac32t+C . Esto sugiere observar la secuencia (z_n) definido por z_n=x_n^{3/2} . Así, z_{n+1}=z_n(1+z_n^{-1})^{3/2}. Primero, (1+u)^{3/2}\geqslant1+\frac32u para cada u\geqslant0 de ahí z_{n+1}\geqslant z_n+\frac32 Así pues z_n\geqslant\frac32n+z_0 y en particular z_n\to+\infty .
Por otro lado, (1+u)^{3/2}\leqslant1+\frac32u+\frac38u^2 para cada u\geqslant0 de ahí z_{n+1}\leqslant z_n+\frac32+\frac38z_n^{-1} . Esto demuestra que z_n\leqslant\frac32n+z_0+\frac38t_n con t_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}z_k^{-1} . Desde z_n\to+\infty , t_n=o(n) y z_n\leqslant\frac32n+o(n) . Por fin, \frac{z_n}n\to\frac32 de ahí \lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n^3}{n^2}=\frac94.
Puede haber un error tipográfico en la pregunta, los exponentes 2 y 3 que se intercambian en x_n^2/n^3 .
Había una errata en la pregunta, así que vamos a explorar una solución un poco más general.
Supongamos que existe un límite finito positivo de \lim_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{n^k} = c para algunos c y k .
Entonces, para grandes n , x_n \approx c n^k y x_{n+1}-x_n \approx \dfrac{1}{\sqrt{c} n^{k/2}} pero tomando n como real \frac{dx}{dn} \approx kcn^{k-1} . Para que estas dos correspondan necesitas k-1=-k/2 y kc=1/\sqrt{c} que tienen las soluciones k=\dfrac{2}{3} y c=\sqrt[3]{\dfrac94} .
Por tanto, el límite de \dfrac{x}{n^{2/3}} es \sqrt[3]{\dfrac94} y de \dfrac{x^3}{n^{2}} es {\dfrac94} .
Para una prueba formal, véase la respuesta de did.
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Sugerencia : x_1 \geq 1 (¿Por qué?) y así x_0 \leq x_{n+1} \leq x_{n} +1 .
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Desde x_n es estrictamente creciente y x_n\to\infty tenemos, por el teorema de Cesaro-Stolz, que l=\lim_{t\to\infty}\biggr(\sqrt{\left(t+\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^3}-\sqrt{t^3}\biggr)^2=\frac{9}{4}. Q.E.D. (feliz de verlo hecho en una línea)