Había una errata en la pregunta, así que vamos a explorar una solución un poco más general.
Supongamos que existe un límite finito positivo de \lim_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{n^k} = c para algunos c y k .
Entonces, para grandes n , x_n \approx c n^k y x_{n+1}-x_n \approx \dfrac{1}{\sqrt{c} n^{k/2}} pero tomando n como real \frac{dx}{dn} \approx kcn^{k-1} . Para que estas dos correspondan necesitas k-1=-k/2 y kc=1/\sqrt{c} que tienen las soluciones k=\dfrac{2}{3} y c=\sqrt[3]{\dfrac94} .
Por tanto, el límite de \dfrac{x}{n^{2/3}} es \sqrt[3]{\dfrac94} y de \dfrac{x^3}{n^{2}} es {\dfrac94} .
Para una prueba formal, véase la respuesta de did.
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Sugerencia : x_1 \geq 1 (¿Por qué?) y así x_0 \leq x_{n+1} \leq x_{n} +1 .
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Desde x_n es estrictamente creciente y x_n\to\infty tenemos, por el teorema de Cesaro-Stolz, que l=\lim_{t\to\infty}\biggr(\sqrt{\left(t+\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^3}-\sqrt{t^3}\biggr)^2=\frac{9}{4}. Q.E.D. (feliz de verlo hecho en una línea)