¿Qué algebraica significa?

Question

Si algo es algebraicas en un campo, ¿qué significa?

No sé el correcto fraseo. Un elemento $a \in K$ es algebraico sobre $F$. Por favor, alguien puede dar alguna correcto fraseo con un ejemplo sencillo.

Answer 1

Esto significa que es la raíz de un polinomio con coeficientes en $F$.

Por ejemplo, $\sqrt{2}$ es algebraico sobre $\Bbb{Q}$ donde $\pi$ no lo es.

Answer 2

$a$ es algebraico sobre $F$ sólo cuando es una raíz de un polinomio con coeficientes de $F$. Por lo $\sqrt{2}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ ya que es una raíz del polinomio $x^2 - 2$.

Edit: Más ejemplos, más el contexto.

Primero una pequeña finito ejemplo - en esencia, el más pequeño ejemplo en la familia sugerido por @fleablood 's comentario.

Aquí son la adición y la multiplicación de las tablas para los cuatro elemento de campo:

+ | 0 1 a b       * | 0 1 a b
-------------     -------------
0 | 0 1 a b       0 | 0 0 0 0
1 | 1 0 b a       1 | 0 1 a b
a | a b 0 1       a | 0 a b 1
b | b a 1 0       b | 0 b 1 a

A continuación, $a$ es una raíz del polinomio $x^2 + x + 1$ con coeficientes de las dos elemento subcampo $F = \{0,1\}$, por lo que es algebraico sobre ese subcampo.

Con el fin de entender lo de "algebraica" significa que usted debe también considerar las situaciones donde se produce un error. (Eso es cierto para cualquier nuevo concepto matemático.) Para ver ejemplos que usted tiene que mover más allá de lo finito. Si un campo $K$ que contiene un campo $F$ es finito dimensionales (no necesariamente finita) como un espacio vectorial sobre$F$, entonces cada elemento de a $a$ $K$ es algebraico sobre $F$ desde el set $\{1, a, a^2, \ldots \}$ debe ser linealmente dependiente.

Como @ZacharySelk notas en su respuesta, $\pi$ no es algebraico sobre los racionales. Pero eso es bastante profundo. Es más fácil probar que los números de Liouville (https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number) no son algebraicas.

Hay ejemplos que no dependen de análisis. Para cualquier campo $F$ (pensar acerca de los racionales) deje $K$ a ser el campo cuyos elementos son cocientes de polinomios con coeficientes de $F$. A continuación, el elemento $x$ $K$ no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes en $F$, por lo que no es algebraico.