Calcula el número mínimo de resistencias de 120Ω para obtener 80Ω de resistencia?

Question

Hace poco tuve que hacer un examen de electrónica básica. No acerté ni una sola pregunta, pero no entiendo muy bien por qué.

How many 120Ω resistors are at minimum required to get a resistance of 80Ω?

Las posibles respuestas a esta pregunta son 2, 3, 4 and 6 . La única respuesta que se me ocurre es 6 con las resistencias dispuestas como se ve a continuación. Pero 6 no es la respuesta correcta.

Pregunta:

¿Cuántas resistencias se necesitan y cómo organizarlas?

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab

Sólo sé lo más básico de la electrónica, así que espero que mis ideas sean correctas.

Answer 1

Se puede encontrar una solución directa mediante la aplicación de fracciones continuas .

Si lo que tienes es 120Ω y lo que quieres es 80Ω, anota la fracción:

$$\frac{80\Omega}{120\Omega} = 0.6667$$

Como la parte entera es cero, empezarás poniendo las resistencias en paralelo. Invierte la parte fraccionaria:

$$\frac{1}{0.6667} = 1.5$$

Esto te dice que tendrás 1 resistencia en paralelo con algún número de resistencias en serie. Invierte de nuevo la parte fraccionaria:

$$\frac{1}{0.5} = 2.0$$

Esto te indica que necesitas 2 resistencias en serie. Como no hay ninguna parte fraccionaria en este punto, ya has terminado.

La respuesta es un total de 3 resistencias.

Answer 2

120 || (120 + 120) Si dos 120 en paralelo dan 60, quieres que una de las ramas sea un poco más alta, así que... eso es lo siguiente que hay que probar.

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Y el método es válido en general para obtener una resistencia de 2/3 de valor utilizando sólo una papelera del mismo tipo. Y en general, para resolver problemas como éste, conviene recordar que la resistencia equivalente de dos resistencias en paralelo es menor que la de cualquiera de las ramas. También puedes obtener 3/4 (o sea, 90), por ejemplo, añadiendo una más a una rama.

N.B: Gracias a Massimo Ortolano Ahora sé que lo que he hecho arriba siguiendo sólo la intuición es que básicamente he seguido el camino de búsqueda indicado abajo en el Árbol de Stern-Brocot :

Answer 3

Puedes cambiar tu solución intercambiando la serie y el paralelo:

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab

A continuación, puedes agrupar R2, R3, R5 y R6 en un único grupo de 2x2:

simular este circuito

Y esos 4 \$120\Omega\$ resistencias hacen una sola \$120\Omega\$ resistencia:

simular este circuito

Answer 4

Tome su solución, pero sin un punto central en el medio: puede reorganizarla como tres secciones paralelas de 120+120 Ohm cada una (la conexión de los puntos centrales no supone ninguna diferencia, ya que todos están a la misma tensión). Ahora dos de las tres secciones paralelas de 120+120 Ohm se combinan de nuevo en 120 Ohm, por lo que puedes sustituir esas 4 resistencias de las dos agrupaciones paralelas por una sola, dejando sólo una resistencia de 120 Ohm en paralelo a 120+120 Ohm.

Hay una plétora de soluciones que demuestran la corrección de esta solución una vez que la tienes. Pero esta reordenación muestra cómo encontrarla sin recurrir al ensayo y error matemático.

Answer 5

Desarrollando la respuesta de @RespawnedFluff, una forma de encontrar esto es pensar de la siguiente manera:

1. Qué resistencias tengo, ok 120.
2. ¿Qué tengo que hacer, 80
3. ¿Qué ecuaciones conocemos? Bueno, las dos resistencias en serie o en paralelo son los puntos de partida más sencillos. Está claro que la serie no sirve de inmediato, ya que aumentaría la resistencia, no la reduciría. Así que tendremos que probar en paralelo. Conocemos las ecuaciones:

$$\frac{1}{R_p}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$$

4. Así que tal vez podamos empezar con eso:

$$\begin{align} \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} &= 80\\\\ 80R_1 + 80R_2 &= R_1 R_2\\\\ R_2 &= \frac{80R_1}{R_1-80} \end{align}$$

5. Entonces, ¿puede encontrar alguna combinación que le convenga? Bueno, empieza con \$R_1=120\$ y luego ver qué valor \$R_2\$ tiene que ser. ¿Puedes hacer ese valor fácilmente? En este caso sí, así que genial.

6. Para otros valores, si no puede obtener un valor inmediatamente, puede que tenga que intentar el mismo enfoque anterior de forma iterativa para encontrar el valor de \$R_2\$ . Si eso no funciona, también puede intentar cambiar \$R_1\$ - tal vez dos en serie o en paralelo, y luego intente de nuevo para \$R_2\$ .

Este enfoque es bastante iterativo, pero en este caso habría encontrado rápidamente tanto la respuesta que obtuviste (usando 6 resistencias), como también la respuesta que obtuvo @RespawnedFluff (usando 3 resistencias).

Si se trata de aumentar la resistencia (es decir, la resistencia requerida es mayor que el valor disponible), básicamente se hace lo mismo, pero se comienza con una resistencia disponible mayor, o se divide la resistencia mayor en trozos en serie y se resuelve para ellos (por ejemplo, si se quiere \$180\Omega\$ , podrías elegir un trozo de \$120\Omega\$ y \$60\Omega\$ ).

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Te preguntarás cómo habría llegado el método a tu respuesta, dado que el tuyo tiene 3 ramas paralelas, mientras que este enfoque utiliza dos. Pues bien, al calcular \$R_2\$ arriba, de forma iterativa, se introduciría \$R_2\$ siendo una rama paralela, que topológicamente es lo mismo que si hubiera 3 ramas para empezar.