Combinatoria distancia ≡ distancia Euclidiana

Question

Definición: Un polytope tiene la propiedad X si existe una función f:N⁺ → R⁺ tal que para cada par de vértices v_i, v_j el siguiente se tiene:

dist_euclidiana(v_i, v_j) = f(dist_combinatoria(v_i, v_j))

con dist_combinatoria(v_i, v_j) = ruta de acceso más corta de los bordes entre v_i y v_j.

Eso significa que: para cada v_i1, v_j1, v_i2, v_j2:

dist_euclidiana(v_i1, v_j1) = dist (distancia_euclidiana(v_i2, v_j2)

el fib

dist_combinatoria(v_i1, v_j1) = dist_combinatoria(v_i2, v_j2)

Pregunta 1: Es la propiedad X ya ha nombrado? ¿Cuál es su nombre común?

Pregunta 2: Que polytopes tiene la propiedad X? El regular polytopes parecen tener, pero ¿hay más?

Answer 1

Ni siquiera todos los polytopes tendría esta propiedad: cualquier polytope tener la propiedad X tendría vértice de cifras en la mayoría de los dos tipos de distancias entre sus vértices, y el 24 y 600 las células de tener el cubo y el icosaedro para un vértice de la figura. Aparte de esos dos ejemplos, sin embargo, todos los polytopes de su propiedad, y al menos el regular prisma, así como regular pentagonal pirámide. Ni idea de si hay más ejemplos.

Answer 2

En todas las dimensiones n>2, se obtiene un no-regular polytope con esta propiedad si usted toma dos simplices y pegamento de dos caras. Los pares de vértices será de 1 unidad aparte, topológicamente y geométricamente, con excepción de un par que será de dos unidades de distancia topológicamente.

(En la dimensión 2, el único no-auto-intersección ejemplos son los habituales de los polígonos regulares, ya que es fácil de ver todos los lados y ángulos tienen que ser la misma).

No sé, un nombre o una caracterización de la propiedad, aunque!

Answer 3

Otra forma de describir su propiedad X es decir que las esferas concéntricas en el camino más corto métrica en el gráfico de la polytope se asignan a concéntricos Euclidiana spehres. Nunca he oído hablar de estos polytopes antes, pero es una pregunta muy natural. Mi sospecha es que no hay muchas "unsymmetric".

Aquí es un plan para la enumeración de ellos en la dimensión 3. Como se ha mencionado por Martin M. W., en dimensión dos el único polytopes son los polígonos regulares: todos los bordes deben ser iguales y todos los ángulos también debe ser igual, porque de vértices a distancia 2 en la gráfica debe tener la misma distancia Euclidiana. Así, en la dimensión 3, cada faceta de un polytope debe ser un polígono regular. Debido a que un polígono regular de las correcciones de la segunda menor distancia, todos los no-facetas triangulares deben ser congruentes. El 3-polytopes con cada cara de un polígono regular son conocidos: son los 5 sólidos Platónicos, el 13 de sólidos Arquimedianos, el infinito de la familia de los prismas, la familia infinita de antiprisms, y el 92 Johnson sólidos.

Sólo dos prismas satisfacer esta propiedad, la triangular y un cuadrado (también conocido como el cubo). Lo más probable, la única antiprism será el triangular (también conocido como el octaedro), pero esto necesitará de algunos cálculos. Esto deja un número finito, cada uno de los cuales puede ser marcada (más cálculos).

En principio, el mismo programa podría realizarse a través de la dimensión 4. A continuación, cada faceta será uno en la lista limitada (no) enumeradas anteriormente, y debido a las diferentes distancias realizado por cada uno de los posibles 3-polytope, muchos de ellos no podrían co-existir. Así que podría ser que las posibilidades son aún más restringido, en la dimensión 4. O podría haber una explosión combinatoria. No es claro para mí que no sería tan sólo un número finito de estos polytopes (hasta similitud) en una dimensión fija $\geq 4$.

Alguien para una computacional proyecto? (Nota: Zalgaller la enumeración de los sólidos de Johnson ocupa casi 100 páginas).

Answer 4

En primer lugar, un mayor estándar de nombre de lo que llaman "geométrica de la distancia" es la distancia Euclídea, aunque su nombre también se plantea. "Topológica de la distancia" es muy problemático nombre; creo que "combinatoria distancia" es una más clara y nombre estándar para la distancia definida por el número de aristas.

Mi conjetura es que su propiedad no tiene un nombre estándar. Sin embargo, está estrechamente relacionado con una propiedad que tiene un nombre estándar. La combinatoria distancia es generalmente delimitada por un relativamente pequeño número entero; por ejemplo, es 2 en una cruz polytope en cualquier dimensión. Un conjunto es más, generalmente se llama $k$-distancia si sólo ha $k$ distintas distancias Euclídeas. El pensamiento convencional es que el $k$-distancia conjuntos son de un buen nivel de generalidad, aunque no tengo idea de si el pensamiento convencional en este punto es prudente o imprudente. He encontrado un un artículo en $k$-distancia establece en la normativa de espacios por Konrad Swanepoel, que tiene una interesante mini-bibliografía de la distancia Euclídea caso. Tal vez Konrad se puede decir más ya que él es un usuario regular de MO.

Mi sugerencia es hacer un nombre como "edge-determinado par-distancia", para transmitir su idea. Incluso si hay un nombre que ha aparecido en un par de papeles, no es necesariamente un buen nombre. Reconozco que ya hay un nombre estándar en muchos papeles, es probable que la utilice; pero he comprobado un poco y no vi ninguno.

También, hay una clase más general de los ejemplos de aquellos que se han sugerido hasta ahora. Cualquier producto Cartesiano de regular simplices con la unidad de bordes es un ejemplo. Esto incluye el $n$-cubo, el $n$-simplex, y el prisma triangular como casos especiales.

Answer 5

Gracias por las respuestas. Dan muchos consejos valiosos.

De todos modos: ¿la propiedad X parece ser una propiedad interesante o es "tan"? A primera vista se ve como una propiedad fundamental - similar a la regularidad? ¿Qué propiedad X nos dicen acerca de la simetría de la polytope que tiene? O qué otra cosa?