Conjetura de selección de curvas

Question

Tengo la siguiente conjetura que parece que no puedo resolver de ninguna manera:

Dejemos que $f:[0,1]\to\mathbb R^2$ sea una función diferenciable tal que $f(0)=(0,0)$ . Entonces existe una función continua $g:[0,1]\to\mathbb R^2$ tal que:

1) $g(0)=(0,0)$

2) $g([0,1])\cap f([0,1])=\{(0,0)\}$ .

3) $g$ no es una función constante. (Gracias al usuario68061 por señalarlo).

Básicamente lo que intento demostrar es que si tenemos una curva diferenciable en $\mathbb R^2$ que pasa por el origen, entonces podemos encontrar una curva continua en $\mathbb R^2$ que interseca la curva dada sólo en el origen.

¿Alguien sabe si este es un resultado ya conocido o si existe un contraejemplo?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Definir primero $F_0: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2$ para que $F_0(0)=(1,0)$ y para la primera mitad va alrededor de un círculo unitario, y luego para la segunda mitad va a lo largo de la línea de $(1,0)$ a $(1/2,0)$ asegurándose de que la derivada se desvanece exponencialmente rápido al principio, a la mitad y al final para estar seguros.

Siguiente definición $F_1: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2$ por $F_1(x)=\frac{1}{2^{n-1}}F_0(2^n(x-\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}}))$ en $[\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}},\frac{2^{n}-1}{2^{n}}]$ y $F(1)=(0,0)$

No estoy del todo seguro de haber acertado con los índices, pero la cuestión es tomar $f(x)=F_1(1-x)$ debemos hacer que la imagen sea un segmento de línea de (0,0) a (1,0) junto con círculos de radio $\frac{1}{2^n}$ .

Entonces la imagen de $g$ no puede contener ningún punto distinto de 0 sin cruzar $f$ por el teorema de la curva de Jordan.

Answer 2

Un contraejemplo es $$ f(t)=t^2\Bigl(\sin\Bigl(\frac1t\Bigr),\cos\Bigl(\frac1t\Bigr)\Bigr),\quad t\ne0,\qquad f(0)=(0,0). $$

Editar

Esto es un contraejemplo si $g'(0)\ne(0,0)$ . Véase el comentario de Dejan Govc.