Un problema muy difícil sobre la existencia de $SU(2)$ ¿matrices?

Question

Dejemos que $G_i$ sea una secuencia de $SU(2)$ matrices, donde $i=1,2,...,n$ y $P$ representa una permutación de $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ .

La pregunta es: ¿Existe una secuencia de $SU(2)$ matrices $W_i$ tal que $$W_i^\dagger G_iW_{P(i)}=\varepsilon_ig,$$ donde el signo $\varepsilon_i=1$ o $-1$ en función de $i$ mientras que $g\in SU(2)$ no depende de $i$ .

Esta pregunta se basa en algunos problemas de física y creo que la existencia de $W_i$ pero parece muy difícil demostrarlo. Muchas gracias.

Answer 1

Tales matrices no existen en general.

Considere el caso $n=1$ , $g=\text{id}$ , $\epsilon_1 = +1$ y $G_1$ cualquier matriz diferente a la identidad. Entonces la única ecuación que tenemos es $$W_1^\dagger G_1W_1 = \text{id},$$ lo que equivale a $$G_1 = W_1W_1^\dagger = \text{id}$$ (como pedimos que $W_1\in SU(2)$ ), lo cual es imposible.

Tal vez este problema tenga solución bajo algunos supuestos más fuertes, pero no sabría decir cuáles podrían ser, y si algún otro supuesto que pudiéramos hacer sería útil en la situación física de la que proviene el problema.