¿Tiene el grupo de automorfismos (conformes) del disco unitario complejo un subgrupo normal? (diferente de la identidad y del propio grupo)
Esto es más un comentario que una respuesta, pero aún no tengo suficiente reputación para comentar.
Como menciona Bhaskar, por supuesto el grupo trivial y el grupo entero son normales. Pero si te interesa, el grupo de automorfismos del disco unitario es en realidad bastante pequeño, y de hecho se puede calcular explícitamente, con una representación única como una rotación compuesta con un factor de Blaschke. Véase aquí para una demostración, o el capítulo sobre mapeos conformes de Stein y Shakarchi si quieres algo más detallado.
Entonces todos los automorfismos son Transformaciones de Mobius y no es difícil ver que podemos identificarlo con $\text{PSL}(2,\mathbb{R})$ que es ciertamente un grupo de Lie simple, por lo que cualquier subgrupo normal debe ser discreto. Sospecho que también es un grupo simple, ya que sus subgrupos discretos se parecerán todos al grupo modular y sus subgrupos, y ninguno de ellos parece ser normal. Esto no debería ser demasiado difícil de resolver explícitamente.
Peter, puedes explicar por qué dices: ...todo subgrupo normal debe ser discreto. Además, te agradecería que me dieras información sobre: ...sus subgrupos discretos serán como el grupo modular y sus subgrupos. Gracias.
Esencialmente, por definición, los únicos subgrupos normales no triviales de un álgebra de Lie son discretos. Los subgrupos discretos de $\text{PSL}(2,\mathbb{R})$ parecer $\text{PSL}(2,\mathbb{Z})$ (el grupo modular) y sus subgrupos de congruencia $\Gamma(n)$ que están bien documentados debido a su ubicuidad en varias aplicaciones en la teoría de números.
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Al menos dos ....
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¿Por qué al menos dos?
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E y G $ \hspace{1cm} $
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La pregunta se refiere a subgrupos diferentes de aquellos.
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Deberías escribir subgrupos normales adecuados no triviales, de todos modos, muestra algo de tu intento, o se cerrará pronto. Díganos cuáles son sus ideas o posibles sospechosos.
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@BhaskarVashishth Creo que "no trivial" se puede asumir cuando alguien hace una pregunta de "¿hay subgrupos?" porque esos son bastante evidentes.
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Tenga en cuenta que este grupo es sólo $PSL(2, \mathbb{R})$ (ver es.wikipedia.org/wiki/SL2(R) ) y puede que tengas más suerte encontrando respuestas si buscas con esa frase...
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No tendrá ningún subgrupo normal, ya que $PSL(2, \mathbb{R})$ es simple, ver prueba