Creo QiL en que el resultado es bien conocido. El punto de esta respuesta es que, teniendo en cuenta los datos de la OP, que la automorphism grupo es $SL_2(\mathbb{F}_3)$ a partir de los primeros principios. He disfrutado de este ejercicio como un repaso, así que...
El punto de duplicar la fórmula para este $j=0$ curva es el siguiente. Si $P=(x,y)$ es un afín a punto, a continuación,$2P=(x^4,x^3+x^6+y+1)$. Del mismo modo el inverso aditivo está dado por la fórmula $-P=(x,y+1)$. Estas fórmulas se dan en todos los libros sobre curvas elípticas. Un afín punto 3-torsión, iff $2P=-P$, iff $x=x^4$$y=x^3+x^6+y$. La primera ecuación simplemente significa que $x\in\mathbb{F}_4$. Pero luego tendremos a $x^3=0$ o $x^3=1$, y la segunda ecuación por lo tanto mantiene automáticamente. Por lo tanto el $\mathbb{F}_4$-racional afín puntos $(0,0); (0,1)$; $(1,\zeta);(1,\zeta^2)$; $(\zeta,\zeta);(\zeta,\zeta^2)$;$(\zeta^2,\zeta);(\zeta^2,\zeta^2)$ son exactamente las 3-torsión puntos.
La suma de los puntos de $P=(x_1,y_1)$$Q=(x_2,y_2)$$P+Q=(x_3,y_3)$, donde
$\lambda=(y_1+y_2)/(x_1+x_2)$, $x_3=\lambda^2+x_1+x_2$, $y_3=\lambda(x_1+x_3)+y_1+1$. Así que si escribimos $P_1=(0,0)$, e $P_2=(1,\zeta)$, luego de un cálculo en repetidas ocasiones el uso de la relación $\zeta^2=\zeta+1$ muestra (salvo mi error) que $P_3=P_1+P_2=(\zeta,\zeta)$$P_4=P_1+2P_2=(\zeta^2,\zeta^2)$. Así vemos que $P_1$ $P_2$ generar todos los de $E[3]$. Los otros 3-torsión puntos son los aspectos negativos de la lista.
Cualquier automorphism de $E$ actuará en el 3-torsión $E[3]$, así que vamos a
considere la posibilidad de la acción de la lista de automorfismos en $E[3]\simeq\mathbb{F}_3^2$ (isomorfo como abelian grupos). Escribo como 2x2 matrices con entradas en $\mathbb{F}_3$ con respecto a la base $\{P_1,P_2\}$. El automorphism $b$ todos los mapas de puntos a sus aspectos negativos, y por lo tanto se asigna a $-I_2$. El automorphism $a$ mapas de $P_1=(0,0)$, y $P_2=(1,\zeta)$$(\zeta,\zeta)=P_1+P_2$. La matriz es así
$$
un\mapsto \pmatrix{1&1\cr0&1\cr}.
$$
Continuando con esto podemos ver que $c_1(P_1)=c_1(0,0)=(0+1,0+0+\zeta)=(1,\zeta)=P_2$ y
$c_1(P_2)=c_1(1,\zeta)=(1+1,\zeta+1+\zeta)=(0,1)=-P_1$. Por lo tanto
$$
c_1\mapsto \pmatrix{0&-1\cr 1&0\cr}.
$$
De la misma manera podemos ver que $c_\zeta(P_1)=P_1+P_2$$c_\zeta(P_2)=P_1+2P_2$, por lo que
$$
c_\zeta\mapsto \pmatrix{1&1\cr1&2\cr}.
$$
Como una comprobación adicional, podemos calcular que la relación se $ac_1a^{-1}=c_\zeta$ (ver mis comentarios a OP) sostiene que en el lado de la matriz así.
A continuación, es fácil comprobar que la lista de matrices de generar todos los de $SL_2(\mathbb{F}_3)$.
Porque sabíamos que la automorphism grupo $G$ es de orden $24=|SL_2(\mathbb{F}_3)|$, se
han visto que $G\simeq SL_2(\mathbb{F}_3)$ y que los elementos de la $G$ puede ser identificado por su acción sobre las $E[3]$ (IOW la anterior homomorphism el envío de un automorphism de $E$ a su restricción de $E[3]$ es inyectiva).
Creo que sucede siempre que la restricción de la automorphism grupo en $E[p]$ para cualquier prime $p$ está dentro de la especial lineal de grupo. Esto es debido a la acción de respeto a las Weil emparejamiento.
