La característica de Euler 1: la Mitad de un agujero?

Question

La característica de Euler de una de dos dimensiones disco es $\chi=1$. Si uno ciegamente interpreta el disco como un sistema cerrado, orientable de la superficie, a continuación,$\chi = 2 - 2g$, y el género es $g=\frac{1}{2}$.

¿Hay alguna forma de ver un disco como poseedora de "la mitad de un agujero" o "la mitad de un mango"?

Mis alumnos me preguntó y yo no tenía una buena respuesta.

Answer 1

Conectado suma de dos discos es un anillo. Si usted piensa por un anillo fibroso como un agujero, entonces supongo que un disco es la mitad de un agujero.

Answer 2

Tratando de uso $\chi = 2 - 2g$ a describir las cosas que no están cerrados orientable superficies falta el punto, creo yo. En mi opinión, uno debe pensar de la característica de Euler de un espacio compacto como un homotopy invariante en el refinamiento de la cardinalidad de un conjunto finito; véase esta entrada del blog. Un disco cerrado es contráctiles, por lo que tiene la característica de Euler $1$, y que es el más transparente de la interpretación de la misma. Usted también podría estar interesado en el argumento en el post del blog que se deriva $\chi = 2 - 2g$ de homotopy invariancia y la inclusión-exclusión.

La cosa que posee "la mitad de un agujero" no es el disco cerrado; si algo es, es $\mathbb{R}P^2$, lo que también tiene la característica de Euler $1$. Y esto es totalmente sensible como puede ser descrito como el cociente de $S^2$ por una acción de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Answer 3

Sé que este es un viejo post, pero el disco es una vez perforada la esfera, y el de Euler char se convierte en la fórmula 2-2g-n, donde g es el número de manijas y n es el número de perforaciones.