Inevitablemente, las herramientas que uno debe utilizar dependen de los teoremas ya disponibles en el curso. En particular, si ya está familiarizado con la teoría de la estructura de los subconjuntos definibles de los reales, entonces la respuesta de Chris Eagle es el mejor camino, especialmente para $\mathbb{Q}$ . Espero que los enfoques que se describen a continuación sigan siendo de algún interés.
Para (b) y (c), la respuesta es no. Se pueden dar justificaciones muy similares. Si $\mathbb{Z}$ fueran definibles, también lo serían $\mathbb{N}$ . Pero hay un algoritmo para decidir si una frase es verdadera en los reales, y no lo hay para $\mathbb{N}$ . Una fórmula definitoria para $\mathbb{Z}$ nos permitiría utilizar el algoritmo de Tarski para decidir todas las cuestiones de teoría de los números. ¡Qué pena!
Para los racionales, el mismo argumento es válido, ya que (no es obvio, es un teorema de Julia Robinson) $\mathbb{Z}$ es un subconjunto definible de $\mathbb{Q}$ .
Porque $\sin(1)$ es trascendental, la respuesta a (a) es no. La razón es que el álgebra real es elementalmente equivalente a $\mathbb{R}$ .
Otro enfoque de (a) es que si $\sin$ fueran definibles, entonces $\mathbb{Z}$ sería definible, a través de las raíces de $\sin x$ .
Añadido: Damos detalles más o menos completos para el $\sin(1)$ es el enfoque trascendental de a).
$1$ ) Supongamos que existe una fórmula $\phi(x,y)$ que "dice" $y=\sin x$ . Entonces la frase que dice que hay un (único) $y$ tal que $\phi(1,y)$ es verdadera en los reales.
$2$ ) La misma frase es entonces cierta en el álgebra real. Así que hay un número algebraico real $b$ tal que $\phi(1,b)$ es cierto en el álgebra real.
$3$ ) Porque $b$ es algebraico, en principio podemos escribir polinomios explícitos $P(y)$ y $Q(y)$ , no idénticamente iguales, con coeficientes enteros no negativos, tales que $P(b)=Q(b)$ .
$4$ ) Por lo tanto $\exists y(\phi(1,y)\land (P(y)=Q(y)))$ es cierto en el álgebra real.
$5$ ) Se deduce que la frase anterior es verdadera en los reales. Pero no es así, ya que $\sin(1)$ es trascendental.
Obsérvese que el planteamiento anterior puede utilizarse para demostrar muchas cosas similares, como el hecho de que la relación $y=2^x$ no es definible en los reales. (El número $2^{\sqrt{2}}$ es trascendental).
