Determinar el valor máximo para la solución de este retraso ecuación diferencial?

Question

Estoy trabajando en la siguiente retardo de la ecuación diferencial

$$\frac{df}{dt}=f-f^3-\alpha f(t-\delta)\tag{1},$$ donde$\frac{1}{2}\leq\alpha\leq 1$$\delta\geq 1$.

Sé que hay tres puntos de equilibrio para la ecuación (1) mediante la resolución de $$0=(1-\alpha)f-f^3\tag{2},$$ es decir,$f=0 \vee f=\pm\sqrt{1-\alpha}$.

Sin embargo, estoy especialmente interesado en oscilatorio de las soluciones de esta ecuación (cerca y por encima de la curva neutral).

Mi pregunta es sobre el valor máximo que $f$ puede obtener para una solución periódica, por $\alpha$$\delta$. Básicamente quiero para determinar la amplitud de esta oscilación. Hay un método (o aproximación), que me permite determinar el valor máximo de $f$?

Algunos de mis pensamientos:

Entiendo que el valor máximo es de al menos $f>\sqrt{1-a}$, y de algunas soluciones numéricas sospecho que el valor máximo es aproximadamente el doble de este valor de equilibrio. Sin embargo, me gustaría tener un mayor conocimiento de la respuesta.

Por ejemplo, para$\alpha=\frac{3}{4}$$\delta=2$, me obtenidos numéricamente la solución para diferentes condiciones iniciales $y_0$, y, a lo largo de la condición inicial no es el punto de equilibrio, que termina en el mismo estable oscilación modo.

Después de encontrar el hay algunos obligado presentes (ver mi respuesta incompleta a continuación), me numéricamente investigó el comportamiento a lo largo de la curva neutral:

$$ \delta=\frac{\arccos\left(\frac{3\alpha-2}{\alpha}\right)}{\sqrt{\alpha^2-(2-3\alpha)^2}},$$

y en la figura a continuación he trazado la obtenida $f_{max}$ como una función de la $\alpha$. (Por favor, ser conscientes de que los resultados son obtenidos numéricamente, y yo no analizar cuidadosamente la exactitud todavía).

Al parecer, he encontrado por el máximo valor de la función de la siguiente relación

$$f_{max}=\sqrt{2(1-\alpha^2)},$$

que encaja perfectamente entre el $\sqrt{1-\alpha}$ $\sqrt{1+\alpha}$ sobre el dominio dado por $\alpha$. Esto no puede ser una coindicent, ¿no?

Answer 1

Esto no es una respuesta completa! No sé la respuesta completa para todos los $\alpha,\delta$, pero en esta respuesta que describa cómo una absoluta límite superior se puede encontrar, ya que es demasiado para un comentario.

En el pico de la solución de $f(t)$, es obvio que tenemos $\frac{df}{dt}=0$, lo que significa,

$$ 0=f_{max}-f_{max}^3-\alpha f(t_{max}-\delta)\tag{1}$$

En esta etapa, $f_{max}$ $(t_{max}-\delta)$ son desconocidos.

Sin embargo, sabemos que $-f_{max}\leq f(t_{max}-\delta)\leq f_{max}$. Así, podemos probar algunas situaciones

1. $f(t_{max}-\delta)=f_{max}$. Esto significa básicamente $\delta=0$ y nos lleva a la solución de equilibrio $f_{max}=\sqrt{1-\alpha}$.
2. $f(t_{max}-\delta)=-f_{max}$. Ahora, $f_{max}=\sqrt{1+\alpha}$.
3. $f(t_{max}-\delta)=0$. Esta es una solución intermedia con $f_{max}=1$.

Es mi impresión de que en el segundo caso proporciona una máxima absoluta a$f$,$\sqrt{1+\alpha}$. El tercer caso se proporciona para los parámetros de $\alpha=\frac{3}{4}$ y $\delta=2$, $f_{eq}=\frac{1}{2}$ y $f_{max}=1$.

Cómo cerrar este máximo absoluto se alcanza, depende, por $\alpha$, principalmente en el valor de $\delta$. A partir de la siguiente figura se puede observar que para las grandes $\delta$, el valor extremo $f_{max}=\sqrt{1+\alpha}$ (línea punteada) se alcanza más de cerca.

Answer 2

Edificio en su propia respuesta, se ve que la parte fundamental es el de conseguir algunos de límite inferior en $f(t_{max}-\delta)$.

La ecuación diferencial de rendimientos $$ \frac{df}{dt} = f-f^3-\alpha f(t-\delta) \leq (1+\alpha)f_{\max} $$ Por expansión de Taylor, $\exists \tau,\, f(t_{\max})-f(t_{max}-\delta) =\delta f'(\tau)$.

Por lo tanto, el uso de su global obligado, $f_{\max}-f(t_{max}-\delta) \leq \delta(1+\alpha)^{3/2}$. Multiplicando por $\alpha$ y restando la eq. (1), obtenemos $(\alpha-1)f_{\max} + f^3_{\max} \leq \alpha\delta(1+\alpha)^{3/2}$, que se puede resolver para un verdadero límite superior en $f_{\max}$. Este límite superior será menor para los más pequeños de $\delta$.

Si no es lo suficientemente nítida sin embargo, para su uso, entonces usted puede utilizar la segunda derivada de $f$ para la delimitación $f_{\max}-f(t_{max}-\delta)$, con una expansión de Taylor: $$\exists \tau,\, f(t_{\max})-f(t_{max}-\delta) =\delta f'(t_\max) -\frac{1}{2}\delta^2 f''(\tau) = -\frac{1}{2}\delta^2 f''(\tau) $$ A continuación, $f(t_{\max})-f(t_{max}-\delta) \leq -\frac{1}{2}\delta^2 \min_t f''(t)$. Usted debe, a continuación, vinculado $f''$ desde abajo, una cruda aproximación da $$ f" = f'-3f'f^2 - \alpha f'(t-\delta) \geq \min f' - \max f^2f' - \alpha\max f'\geq -(1+\alpha)^2f_\max - (1+\alpha)f_\max^3 $$ Después de la anterior reasonning, uno encuentra $(\alpha-1)f_{\max} + f^3_{\max} \leq \alpha\delta^2(1+\alpha)^{5/2}$.

Porque estamos en el caso de finito $\delta$, podría ser que el lineal obligado es más nítida que la cuadrática uno para algunos valores de $(\delta,\alpha)$.

Answer 3

un par de observaciones:

1/ no es obvio para mí que necesariamente obtendrá $t$ tal que $f'(t)=0$. Parece que este es el caso de ejemplos numéricos, pero analíticamente, no estoy seguro de cómo habría que probar esto.

2/ Si lo has oscilatorio soluciones, entonces estoy de acuerdo con usted, usted necesita para resolver las ecuaciones anteriores. Pero como tiene un parámetro de $\delta$ que hace $f(t-\delta)$ nada $[-f_{max},f_{max}]$, sugiero considerar como un parámetro y resolver el 3er grado de la ecuación. Tendrá entre 1 y 3 soluciones, todo depende de a $f(t-\delta) \in [-f_{max},f_{max}]$. (No es bastante en wolfram alpha)

3/ Siguiente paso, usted puede optimizar las soluciones que encuentra por encima con respecto a $f(t-\delta)$, que se asegurará de que usted haya encontrado un mundial extremo.

4/ Último paso, usted necesita para asegurarse de que todo es coherente, y, potencialmente, mirando sus soluciones 2/ vs su optimización en 3/.

Probablemente hay una manera de utilizar el hecho de que la solución es periódica, y que el mínimo y el máximo satisfacen la misma ecuación, pero realmente no puedo explicarlo. Espero que esto sea útil.