Si cada elemento de G/H tiene orden finito y cada elemento de H tiene orden finito, entonces cada elemento de G tiene orden finito

Question

Deje $G$ un grupo normal de los subgrupos $H$. Si cada elemento de a $G/H$ ha finito de orden y cada elemento de a $H$ tiene orden finito, entonces cada elemento de $G$ tiene orden finito

Prueba:

Sea G un grupo con normalidad subgrupo H. Supongamos que cada elemento de G/H tiene orden finito y de que cada elemento de H tiene orden finito.

Queremos mostrar a $G$ tiene orden finito.

Deje $x \in G$, por coset y el cociente definición de grupo, $Hx \in G/H$ $Hx$ tiene orden finito $n$ o en otras palabras $(Hx)^n=e$. También para algunos $h \in H$, también tiene un número finito de orden donde $h^m=e$

Estoy atascado en la forma de enlazar juntos. Cualquier entrada?

Answer 1

Tenga en cuenta que a $G/H$, un elemento $xH$ es la identidad si y sólo si $x\in H$. Esto significa que $(xH)^n = eH$ implica que el $x^n \in H$, y así que usted puede utilizar el hecho de que los elementos en $H$ han finito de orden de proceder.

Answer 2

Aquí es una manera de poner las cosas:

Deje $g \in G$. Considerar el coset $gH$. Ya que cada elemento en $ G/H$ tiene orden finito, existe $n \in \Bbb N$ tal que $g^nH = (gH)^n = eH = H$, es decir,$g^n\in H$ . Ahora vamos a utilizar el hecho de que cada elemento de a $H$ tiene orden finito, de modo que existe $m \in \Bbb N$ tal que $(g^n)^m = e$, es decir,$g^{mn}= e$. Por lo tanto $g$ tiene orden finito.

Answer 3

$$\forall\,x\in G\;\;\exists\,n_x\in\Bbb N\;\;s.t.\;\;x^{n_x}\in H\implies\,\exists m_x\in\Bbb N\;\;s.t.\;\;\left(x^{n_x}\right)^{m_x}=1$$