Puede un diffeomorphism entre submanifolds ser extendida a una auto-diffeomorphism del total de colector?

Question

Deje $M^{n}$ ser un diferencial de colector y $S$, $N$ submanifolds de $M$ con la misma dimensión $\lt n$, $\phi$ es un diffeomorphism de$S$$N$, $\phi$ ser extendida a una auto-diffeomorphism de $M$? O no existen tales $\phi$, $\phi$ puede ser extendido?

Caso especial es $M=\mathbb{R}^{n}$, $S$ es una $s$-dimensiones submanifold $(s\le n)$,e $\phi$ es un diffeomorphism de $S$ a un conjunto abierto en $R^{s}$, la pregunta es ¿$\phi$ ser extendida a una auto-diffeomorphism de $\mathbb{R}^{n}$? Si no existen tales $\phi$, $\phi$ puede ser extendido?

Answer 1

Considere la posibilidad de un estándar círculo y un nudo de trébol en $\mathbb{R}^3$. Cualquier diffeomorphism de $\mathbb R^3$ a sí mismo que se llevó una a la otra tendría que ser un diffeomorphism de los complementos. Pero los grupos fundamentales de los complementos son diferentes, de modo que tal diffeomorphism no existe.

Answer 2

Deje $M = \mathbb{R}$$S = N = \{0, 1, 2\}$.

Considerar la diffeomorphism $\varphi : \{0, 1, 2\} \to \{0, 1, 2\}$, dado por $\varphi (0) = 0$, $\varphi(1) = 2$, $\varphi(2) = 1$. Como cada diffeomorphism $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es monótona, no hay diffeomorphism $\psi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $\psi|_{\{0, 1, 2\}} = \varphi$.

Answer 3

Sé que este es un trivial contraejemplo con un determinado $\phi$, pero si usted no está poniendo ningún tipo de restricciones y deje $s\leq n$, entonces usted puede también considerar dos abiertos disjuntos delimitada intervalos de $I_1, I_2\subset\mathbb R$ y el diffeomorphism que es la identidad en $I_1$ y volteretas $I_2$. Esto no se extiende porque, por ejemplo, los dos "interior" de los extremos debe ser enviado a la misma componente conectado de $\mathbb R\backslash(I_1\cup I_2)$, lo cual es imposible.

Answer 4

Considere la posibilidad de $S = $ una unión de dos círculos concéntricos, $N = $ dos círculos, de lado a lado (por ejemplo, círculos de unidad centrada en $(\pm 2, 0)$), y $M = \mathbb R^2$. El complemento de $S$ contiene dos componentes fundamentales cuya grupos son isomorfos a los enteros (el espacio anular entre los dos círculos, y el ilimitado pieza); el complemento de $N$ contiene dos componentes (discos delimitada por los círculos), cuya fundamental grupos son triviales. Desde un auto-homeomorphism de $M$ que lleva la $S$ $N$tendría que llevar los complementos los complementos, no puede haber tal auto-homeomorphism.

Esta es, probablemente, como un simple ejemplo de como la vas a encontrar, en la línea, no hay ejemplo de que funciona.