Yo sé acerca de $S_n$, $D_n$ y $A_n$. Y desde mi limitada comprensión parece ser que hay muchas más. Me gustaría saber si existe algún tipo de relación que vincula a un conjunto pequeño de no Abelian grupos para crear los otros. Algo parecido con el Abelian grupos y el Teorema Fundamental de Abelian Grupos.
Respuestas
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Mees de Vries
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El "oficial" de la respuesta es la clasificación de los grupos finitos simples. En cierto sentido, todos los grupos finitos se construyen a partir de simple grupos finitos, para la comprensión de los que es una gran ayuda en la comprensión de todos los grupos finitos.
Sin embargo, esto es mucho menos tangible y accesible que la clasificación de finito abelian grupos. Quizá sea más útil para un principiante es del teorema de Cayley, que establece que cada grupo es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ algunos $n$. Por lo tanto, si usted entiende todos los subgrupos de $S_n$, de comprender todos los grupos finitos.
En general, su pregunta "debería" ser de difícil respuesta; grupos finitos son objetos muy complejos (como contraposición a, por ejemplo, finito dimensionales espacios vectoriales), y el hecho de que abelian grupos finitos son tan "fácil" de entender dice que esta complejidad reside en la no-abelian grupos.
Hay una construcción llamada semi-directa del producto. Es un poco como producto directo con una vuelta de tuerca. Esto crea un no-grupo abelian incluso si los dos factores fueron abelian. Y no es una generalización llamado grupo de extensiones que crea más no abelian grupos.
Es difícil clasificar a ellos. Porque el producto directo de dos grupos, uno de ellos no abelian resultará en un no-grupo abelian. Así que uno intenta clasificar simple grupos: los que no admitiendo adecuada no trivial normal subgrupos. Incluso aquí es un gran. Clasificación Teorema de Simple Grupos se ejecuta a miles de páginas de diario.
El análogo más próximo de Teorema Fundamental de la aritmética es Jordan-Hölder Teorema para grupos. Pero la misma sencilla ("prime") los componentes se pueden "poner juntos" de diversas maneras para producir muchos diferentes no abelian grupos.
Si usted quiere algunos ejemplos importantes en lo finito de los casos: No-singular matrices de tamaño $n\times n$ (con las entradas de campos finitos).
Tiene varios interesantes subgrupos, triangular, etc.
Jherico
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En general, existe un gran número de maneras de cómo combinar ciertos grupos. El relativamente más extremas cuando el orden de los grupos son todas las potencias de dos.
Por ejemplo, ya para grupos con $32$ elementos hay $51$ diferentes grupos. Y sólo se pone mucho peor, incluso para un relativamente modesto número como $1024$ hay $49487365422$ diferentes grupos de ese orden, y para $2048$ nadie sabe la respuesta exacta.
Así, mientras hay unificación de los principios de la construcción como se ha discutido en otras respuestas y lo que te dan exactamente es difícil de predecir.
