Comparar Ecuación diofántica exponencial 7^y + 2 = 3^x respondida por @Gyumin Roh
Inventé un problema variante en los comentarios. Parece que este método, publicado por un estudiante de secundaria coreano, permite tales variaciones. 2^u - 3^v = 5 Vemos que 8-3=5 y 32-27 = 5. No avancé mucho trabajando alrededor de la solución 8-3, pero 32 - 27 fue productivo. Tuve que usar un número primo grande, donde encontrar los órdenes de 2,3 \pmod p sería prohibitivo hacerlo a mano. Sin embargo, estos se pueden verificar. Tal vez pueda encontrar una cadena de primos más pequeña. En esta primera versión, usé $41, 31, 4561, 17.
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PRIMERA VERSIÓN:
2^u = 3^v+5 2^u - 32 = 3^v - 27 Aparentemente lo cambié de dirección. 3^v - 27 = 2^u - 32. Con v \geq 4 y u \geq 6, 27 ( 3^x - 1) = 32 ( 2^y - 1) con x,y \geq 1, para que 3^x - 1 > 0 y 2^y - 1 > 0. Lo que queremos hacer es mostrar que 3^x - 1 es divisible por 64, porque eso contradecirá la factorización dada 32 \cdot \mbox{IMPAR}. A su vez, esto contradirá la existencia de tal solución adicional más allá de las que conocíamos.
Allá vamos, 3^x \equiv 1 \pmod{32}. Esto significa que 8 | x. Factorizamos, con la esperanza de encontrar nuevos primos útiles. 3^8 - 1 = 32 \cdot 5 \cdot 41. Usamos 41. Nota que 8|x, así que (3^8 - 1)| (3^x - 1) y entonces 41 | (3^x - 1). Por lo tanto $41 |(2^y - 1).
2^y \equiv 1 \pmod{41}. Esto significa que 20 | y. Factorizamos, con la esperanza de encontrar nuevos primos útiles. 2^{20} - 1 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 31 \cdot 41. Usamos 31 ahora, con 31 |(3^x - 1).
3^x \equiv 1 \pmod{31}. Esto significa que 30 | x. Factorizamos, con la esperanza de encontrar nuevos primos útiles. 3^{30} - 1 = 8 \cdot 7 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 61 \cdot 271 \cdot 4561. Usamos 4561. Obtenemos 4561 |(2^y - 1).$ Lo siento por eso. Buscaré una cadena de primos más pequeña más tarde.
2^y \equiv 1 \pmod{4561}. Esto significa que 2280 | y, en particular 8|y. 2^{8} - 1 = 3 \cdot 5 \cdot 17 . Usamos 17 ahora. Por lo tanto $17 |(3^x - 1).
3^x \equiv 1 \pmod{17}. Esto significa que 16 | x. 3^{16} - 1 = 64 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 41 \cdot 193 .
Como dije, 64 | (3^{16} - 1)| (3^x-1) contradice 27 ( 3^x - 1) = 32 ( 2^y - 1) con 3^x - 1 > 0 y $2^y - 1 > 0.
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SEGUNDA VERSIÓN: Usé $41, 31, 241, 17.
27 ( 3^x - 1) = 32 ( 2^y - 1) con x,y \geq 1, para que 3^x - 1 > 0 y 2^y - 1 > 0. Lo que queremos hacer es mostrar que 3^x - 1 es divisible por 64, porque eso contradecirá la factorización dada 32 \cdot \mbox{IMPAR}. A su vez, esto contradirá la existencia de tal solución adicional más allá de las que conocíamos.
Allá vamos, 3^x \equiv 1 \pmod{32}. Esto significa que 8 | x. Factorizamos, con la esperanza de encontrar nuevos primos útiles. 3^8 - 1 = 32 \cdot 5 \cdot 41. Usamos 41. Nota que 8|x, así que (3^8 - 1)| (3^x - 1) y entonces 41 | (3^x - 1). Por lo tanto $41 |(2^y - 1).
2^y \equiv 1 \pmod{41}. Esto significa que 20 | y. Factorizamos, con la esperanza de encontrar nuevos primos útiles. 2^{20} - 1 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 31 \cdot 41. Usamos 31 ahora, con 31 |(3^x - 1).
3^x \equiv 1 \pmod{31}. Esto significa que 30 | x. Sin embargo, ya sabíamos que 8 | x, así que 120|x. Factorizamos, con la esperanza de encontrar nuevos primos útiles. 3^{120} - 1 = 32 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 61 \cdot 241 \cdot 271 \cdot 1181 \cdot 4561 \cdot 6481 \cdot \mbox{CUATRO GRANDES}. Usamos 241. Obtenemos 241 |(2^y - 1). Verifiqué dónde ocurre, 241 es el menor factor primo de 3^{40} - 3^{20} + 1. Nota que ( t^{40} - t^{20} + 1) =(t^8 - t^4 + 1)(t^{32} + t^{28} - t^{20} - t^{16} - t^{12} + t^4 + 1) era predecible basado en las raíces cúbicas complejas del -1, sin embargo 241 divide al factor polinómico menos agradable, en contexto 3^{32} + 3^{28} - 3^{20} - 3^{16} - 3^{12} + 3^4 + 1= 241 \cdot 298801 \cdot 26050081. Conclusión.
2^y \equiv 1 \pmod{241}. Esto significa que 24 | y, en particular 8|y. 2^{8} - 1 = 3 \cdot 5 \cdot 17 . Usamos 17 ahora. Por lo tanto 17 |(3^x - 1).
3^x \equiv 1 \pmod{17}. Esto significa que 16 | x. 3^{16} - 1 = 64 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 41 \cdot 193 .
Como dije, 64 | (3^{16} - 1)| (3^x-1) contradice 27 ( 3^x - 1) = 32 ( 2^y - 1) con 3^x - 1 > 0 y $2^y - 1 > 0.
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Erm... 24−32=7?
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Sí, perdón, me refería a una solución completa. :)
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Sí, acabo de ver tu edición. ¡Disculpa por llenar los comentarios!
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No creo que ya hayas considerado que esto podría ser muy difícil, dado lo difícil que fue abordar la conjetura de Catalan.
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@Valborg es posible que no sean extraordinariamente difíciles cuando ambas bases están fijadas y son los exponentes los que pueden variar. He visto 3x−2y=1 en este sitio y creo que había una solución que no era tan mala.
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Similar: math.stackexchange.com/questions/1551324/…
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¡Genial! No tenía idea de que las cosas se simplificaran tan fácilmente.
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@Valborg en general no lo hacen; incluso para este problema si cambiaras el 7 por algo que obligara a ambos exponentes a ser impares, perderías inmediatamente la factorización elemental. Supongo que 2x−3y=5 haría eso. ¿Me pregunto si este se vuelve difícil? Probablemente no. Creo que se vuelve más difícil pero aún es a nivel de concurso.
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@René Supongo que he hecho lo suficiente. Si estabas interesado en investigar esto, parece que se debería esperar usar solo dos primos, y no es necesario que sean enormes en comparación con los primos mínimos útiles posibles. Para 2u−3v=13 terminé con el par de primos ordenados (193,257). Para 3u−5v=2 terminé con los primos 19,1621. Para 2u−3v=5 terminé con los primos 19,6481. Para el segundo y tercero, tal vez se puedan encontrar pares de primos algo más pequeños, no estoy seguro.