De la primaria a la solución de la exponencial de la ecuación de Diophantine $2^x - 3^y = 7$.

Question

El título lo dice todo. Me gustaría tener una solución, preferiblemente uno que es tan elemental como sea posible, de la exponencial de la ecuación de Diophantine $$ 2^x - 3^y = 7 $$ donde $x,y$ son enteros no negativos. Tenga en cuenta que algunas pequeñas soluciones se $(x,y)=(3,0)$$(x,y)=(4,2)$. Si realmente tenía que resolver a toda costa, yo me encargaría de traducir esto al problema de encontrar integral de puntos en un montón de curvas de género $1$. Sin embargo, me gustaría saber si hay métodos más sencillos hay.

Tan lejos como puedo ver, simple congruencia trucos no funcionan: $2^x = 7$ es soluble $3$-adically y $-3^y = 7$ es soluble $2$-adically, así que no puedo ver cómo podemos hacer nada mirando a $p$-adically para $p=2$ o $p=3$, y creo que el hecho de que el conjunto solución para el problema original no está vacía significa que $p$-ádico consideraciones para $p \neq 2,3$ no tienen ninguna oportunidad de trabajo. (Pero tal vez estoy equivocado.)

Answer 1

Mirando la ecuación módulo $ 3 $ da $ 2^x \equiv 1 \pmod{3} $ si $ y = 0 $, por lo tanto $ x $ es incluso. Por otro lado, modulo $ 7 $ tenemos $ 2^x \equiv 3^y \pmod{7} $, y desde $ 2 \equiv 3^2 \pmod{7} $ $ 3 $ es una raíz primitiva módulo $ 7 $, esto implica que $ 2x - y $ es divisible por $ 6 $, y, por tanto, $ y $ es incluso también. Escrito $ x = 2m $$ y = 2n $, nos encontramos con

$$ 2^{2m} - 3^{2n} = (2^m - 3^n)(2^m + 3^n) = 7 $$

Ahora, hacemos uso de la primalidad de $ 7 $, y es fácil ver que la única solución es $ m = 2, n = 1 $. Si $ y = 0 $, entonces obviamente $ x = 3 $, por lo que las únicas soluciones son $ (4, 2) $$ (3, 0) $.

Answer 2

Comparar Exponencial de la ecuación de Diophantine $7^y + 2 = 3^x$ respuesta por @Gyumin Roh

He hecho una variante del problema en los comentarios. Parece que este método, publicado por un coreano estudiante de la escuela secundaria, permite que tales variaciones. $$ 2^u - 3^v = 5 $$ Vemos a $8-3=5$ $32-27 = 5.$ I no llegará muy lejos, trabajando en torno a la solución $8-3,$ pero $32 - 27$ fue productivo. Tuve que usar uno de los primos grandes, donde la búsqueda de las órdenes de $2,3 \pmod p$ sería prohibitivo por la mano. Sin embargo, estos pueden ser comprobados. Tal vez voy a ser capaz de encontrar una pequeña cadena de números primos. En esta primera versión, yo solía $41, 31, 4561, 17.$

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PRIMERA VERSIÓN:

$$ 2^u = 3^v + 5 $$ $$ 2^u - 32 = 3^v - 27 $$ Al parecer me lo dio vuelta. $$ 3^v - 27 = 2^u - 32. $$ Con $v \geq 4$ $u \geq 6,$ $$ 27 ( 3^x - 1) = 32 ( 2^y - 1)$$ con $x,y \geq 1,$, de modo que $3^x - 1 > 0$ $2^y - 1 > 0.$ Lo que quiero hacer es mostrar que $3^x - 1$ es divisible por $64,$ debido a que se contradicen el dado de la factorización de la $32 \cdot \mbox{ODD}.$ a su vez, esto contradice la existencia de un adicional de solución más allá de los sabíamos.

Aquí vamos, $$ 3^x \equiv 1 \pmod{32}. $$ Esto significa que $8 | x.$ Nos factor, con la esperanza de encontrar nuevas y útiles de los números primos. $$ 3^8 - 1 = 32 \cdot 5 \cdot 41. $$ We use $41.$ Note that $8|x,$ so that $(3^8 - 1)| (3^x - 1)$ and so $41 | (3^x - 1).$ Therefore $41 |(2^y - 1).$

$$ 2^y \equiv 1 \pmod{41}. $$ Esto significa que $20 | y.$ Nos factor, con la esperanza de encontrar nuevas y útiles de los números primos. $$ 2^{20} - 1 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 31 \cdot 41. $$ We use $31$ now, with $31 |(3^x - 1).$

$$ 3^x \equiv 1 \pmod{31}. $$ Esto significa que $30 | x.$ Nos factor, con la esperanza de encontrar nuevas y útiles de los números primos. $$ 3^{30} - 1 = 8 \cdot 7 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 61 \cdot 271 \cdot 4561. $$ We use $4561.$ We get $4561 |(2^y - 1).$ Lo siento por eso. Voy a mirar por una pequeña cadena de números primos más tarde.

$$ 2^y \equiv 1 \pmod{4561}. $$ Esto significa que $2280 | y,$, en particular, $8|y.$ $$ 2^{8} - 1 = 3 \cdot 5 \cdot 17 . $$ We use $17$ now. Therefore $17 |(3^x - 1).$

$$ 3^x \equiv 1 \pmod{17}. $$ Esto significa que $16 | x.$ $$ 3^{16} - 1 = 64 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 41 \cdot 193 . $$

Como ya he dicho, $64 | (3^{16} - 1)| (3^x-1)$ contradice $ 27 ( 3^x - 1) = 32 ( 2^y - 1)$ $3^x - 1 > 0$ $2^y - 1 > 0.$

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SEGUNDA VERSIÓN: "yo solía $41, 31, 241, 17.$

$$ 27 ( 3^x - 1) = 32 ( 2^y - 1)$$ con $x,y \geq 1,$, de modo que $3^x - 1 > 0$ $2^y - 1 > 0.$ Lo que quiero hacer es mostrar que $3^x - 1$ es divisible por $64,$ debido a que se contradicen el dado de la factorización de la $32 \cdot \mbox{ODD}.$ a su vez, esto contradice la existencia de un adicional de solución más allá de los sabíamos.

Aquí vamos, $$ 3^x \equiv 1 \pmod{32}. $$ Esto significa que $8 | x.$ Nos factor, con la esperanza de encontrar nuevas y útiles de los números primos. $$ 3^8 - 1 = 32 \cdot 5 \cdot 41. $$ We use $41.$ Note that $8|x,$ so that $(3^8 - 1)| (3^x - 1)$ and so $41 | (3^x - 1).$ Therefore $41 |(2^y - 1).$

$$ 2^y \equiv 1 \pmod{41}. $$ Esto significa que $20 | y.$ Nos factor, con la esperanza de encontrar nuevas y útiles de los números primos. $$ 2^{20} - 1 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 31 \cdot 41. $$ We use $31$ now, with $31 |(3^x - 1).$

$$ 3^x \equiv 1 \pmod{31}. $$ Esto significa que $30 | x.$ sin Embargo, ya se sabía que $8 | x,$ $120|x.$ Nos factor, con la esperanza de encontrar nuevas y útiles de los números primos. $$ 3^{120} - 1 = 32 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 61 \cdot 241 \cdot 271 \cdot 1181 \cdot 4561 \cdot 6481 \cdot \mbox{FOUR BIG}. $$ We use $241.$ We get $241 |(2^y - 1).$ I checked as to where it occurs, $241$ is the smallest prime factor of $3^{40} - 3^{20} + 1.$ Tenga en cuenta que $( t^{40} - t^{20} + 1) =(t^8 - t^4 + 1)(t^{32} + t^{28} - t^{20} - t^{16} - t^{12} + t^4 + 1)$ era predecible basado en el complejo raíces cúbicas de $-1,$ sin embargo $241$ divide el menos agradable polinomio factor, en el contexto de $3^{32} + 3^{28} - 3^{20} - 3^{16} - 3^{12} + 3^4 + 1= 241 \cdot 298801 \cdot 26050081.$ Vaya Usted A Saber.

$$ 2^y \equiv 1 \pmod{241}. $$ Esto significa que $24 | y,$, en particular, $8|y.$ $$ 2^{8} - 1 = 3 \cdot 5 \cdot 17 . $$ We use $17$ now. Therefore $17 |(3^x - 1).$

$$ 3^x \equiv 1 \pmod{17}. $$ Esto significa que $16 | x.$ $$ 3^{16} - 1 = 64 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 41 \cdot 193 . $$

Como ya he dicho, $64 | (3^{16} - 1)| (3^x-1)$ contradice $ 27 ( 3^x - 1) = 32 ( 2^y - 1)$ $3^x - 1 > 0$ $2^y - 1 > 0.$

Answer 3

El Martes, 27 De Septiembre De

Mejorando en esto. He encontrado que la gp-pari estaba tomando demasiado tiempo. Escribí tres sencillos programas de C++. Uno encontrar rápidamente la orden de un primer mod algún otro número, que puede ser compuesto. El segundo da los factores primos de un gran número de $p^n - 1$ hasta un límite. El tercer programa se ilustra, con salida, en la $\tiny 2^u - 3^v = 13$ respuesta.

La resolución de $$ 3^u - 5^v = 2. $$ We know the solution $27 - 25 = 2$ y sospecho que ésta es la más grande. $$ 3^u - 27 = 5^v - 25. $$ $$ 27 ( 3^x - 1) = 25 ( 5^y - 1). $$ En el caso de $x,y \geq 1:$

Dado partir de las 3: $$ 3^x \equiv 1 \pmod {25} \Longrightarrow 20 | x $$ $$ 3^{20} - 1 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 11^2 \cdot 61 \cdot 1181 $$

Dado partir de las 5: $$ 5^y \equiv 1 \pmod {27} \Longrightarrow 18 | y \Longrightarrow 3 | y $$ $$ 5^{18} - 1 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 829 \cdot 5167 $$ Debemos ignorar estos.

El uso de $1181.$ $$ 5^y \equiv 1 \pmod {1181} \Longrightarrow 590 | y \Longrightarrow 10 | y $$ $$ 5^{10} - 1 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 71 \cdot 521 $$

El uso de $521.$ $$ 3^x \equiv 1 \pmod {521} \Longrightarrow 520 | x \Longrightarrow 8 | x $$ $$ 3^{8} - 1 = 2^5 \cdot 5 \cdot 41 $$

El uso de $41.$ $$ 5^y \equiv 1 \pmod {41} \Longrightarrow 20 | y \Longrightarrow 4 | y \Longrightarrow 12 | y $$ $$ 5^{12} - 1 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 601 $$

El uso de $601.$ $$ 3^x \equiv 1 \pmod {601} \Longrightarrow 75 | x \Longrightarrow 25 | x \Longrightarrow 100 | x $$ $$ 3^{100} - 1 = 2^4 \cdot 5^3 \cdot 11^2 \cdot 61 \cdot 101 \cdot 151 \cdot 1181 \cdot \mbox{MORE} $$ Es decir, $$ 125 | (3^x - 1). $$ Esto contradice $$ 27 ( 3^x - 1) = 25 ( 5^y - 1) $$ con $x,y \geq 1.$

Answer 4

El martes, 27 de septiembre, más tarde; conseguir algo de confianza en que esto generalmente funciona, solo tal vez, con grandes números primos.

PRIMERA VERSIÓN

Resulta que, si estamos dispuestos a usar los números primos demasiado grande para ser tratado en la mano, podemos ser capaces de obtener una cadena más corta, esta vez de dos números primos se utiliza en lugar de cuatro.

La resolución de $$ 2^u - 3^v = 13. $$ We know the solutions $16 - 3 = 13$ and $256 - 243 = 13$ y sospecho que ésta es la más grande. $$ 2^u - 256 = 3^v - 243. $$ $$ 256 ( 2^x - 1) = 243 ( 3^y - 1). $$ En el caso de $x,y \geq 1:$

Dado partir de las 2: $$ 2^x \equiv 1 \pmod {243} \Longrightarrow 162 | x $$ $$ 2^{162} - 1 = 243 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 73 \cdot 163 \cdot 2593 \cdot \mbox{More} $$

Dado partir de las 3: $$ 3^y \equiv 1 \pmod {256} \Longrightarrow 64 | y $$ $$ 3^{64} - 1 = 256 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 41 \cdot 193 \cdot \mbox{BIG} $$ Debemos ignorar estos.

El uso de $163.$ $$ 3^y \equiv 1 \pmod {163} \Longrightarrow 162 | y $$ $$ 3^{162} - 1 = 2^3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 109 \cdot 163 \cdot 433 \cdot 757 \cdot 1297 \cdot 3889 \cdot 8209 \cdot 19441 \cdot 19927 \cdot 208657 \cdot 224209 \cdot \mbox{BIG} $$

Using $ 19441.$ $$ 2^x \equiv 1 \pmod { 19441} \Longrightarrow 4860 | x \Longrightarrow 486 | x $$ $$ 2^{486} - 1 = 3^6 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 73 \cdot 163 \cdot 487 \cdot 1459 \cdot 2593 \cdot 71119 \cdot 87211 \cdot 135433 \cdot 139483 \cdot 262657 \cdot \mbox{BIG} $$

Es decir, $$ 729 | (2^x - 1). $$ Esto contradice $$ 256 ( 2^x - 1) = 243 ( 3^y - 1). $$ con $x,y \geq 1.$

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Creo que debo agregar en la razón de que yo sabía que para agarrar el primer 19441 cuando apareció ( la elección de 163 fue un poco al azar, sólo un primer factor de $2^{162} -1$). Fue porque las primeras cosas que me calculadas fueron los de abajo. Me pidió que los números primos $p$ el orden de $2$ sería divisible por $243.$ La novena de los números primos se $19441.$

jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2 243
243   162 = 2 * 3^4
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 256
256    64 = 2^6

jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2 729
729   486 = 2 * 3^5
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 512
512   128 = 2^7


jagy@phobeusjunior:~$ ./order_mult 2 243
487   243 = 3^5
1459   486 = 2 * 3^5
2917   972 = 2^2 * 3^5
4861   972 = 2^2 * 3^5
8263  4131 = 3^5 * 17
12637 12636 = 2^2 * 3^5 * 13
17011 17010 = 2 * 3^5 * 5 * 7
17497  4374 = 2 * 3^7
19441  4860 = 2^2 * 3^5 * 5    ******
19927  9963 = 3^5 * 41
20899 20898 = 2 * 3^5 * 43
21871 10935 = 3^7 * 5
32077 32076 = 2^2 * 3^6 * 11
32563 32562 = 2 * 3^5 * 67
36451  7290 = 2 * 3^6 * 5
39367  2187 = 3^7
42283 42282 = 2 * 3^6 * 29
47143 23571 = 3^5 * 97
jagy@phobeusjunior:

jagy@phobeusjunior:~$ ./order_mult 3 128
257   256 = 2^8
641   640 = 2^7 * 5
1409  1408 = 2^7 * 11
3329  3328 = 2^8 * 13
4481  4480 = 2^7 * 5 * 7
7681   640 = 2^7 * 5
7937  7936 = 2^8 * 31
9473  9472 = 2^8 * 37
9857   896 = 2^7 * 7
10753  2688 = 2^7 * 3 * 7

=======================================

vale la pena una nota extra. Mientras que, hasta donde yo sé, todos los números primos en la lista con $19441$ $1 \pmod{243},$ algunos de los números primos son perdidas, como $3889$ $5347.$ Aquí está una lista de números primos $p \equiv 1 \pmod {243}$ $p < 50000$

487
1459
2917
3889
4861
5347
8263
9721
12637
17011
17497
19441
19927
20899
21871
25759
26731
30133
32077
32563
33049
36451
37423
39367
42283
46171
47143
47629
jagy@phobeusjunior:

=====================================================

La tarde del miércoles, 28 de septiembre de 2016. SEGUNDA VERSIÓN

Esto se puede hacer con dos modestos números primos: $193, 257$ $$ 256 (2^x - 1) = 243 (3^y - 1) $$ $$ 3^y \equiv 1 \pmod {256} \Longrightarrow 64 | y. $$ $$ 3^{64} - 1 = 256 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 41 \cdot 193 \cdot \mbox{BIG} $$ El uso de $193.$

$$ 2^x \equiv 1 \pmod {193} \Longrightarrow 96 | x. $$ $$ 2^{96} - 1 = 9 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 97 \cdot 193 \cdot 241 \cdot 257 \cdot 673 \cdot 65537 \cdot 22253377 $$ El uso de $257.$ $$ 3^y \equiv 1 \pmod {257} \Longrightarrow 256 | y. $$

Confirmar $$ 3^{256} - 1 = 1024 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 41 \cdot 193 \cdot \mbox{more} $$ $$ 1024 | (3^y - 1) $$ Esto contradice $$ 256 (2^x - 1) = 243 (3^y - 1) $$ con $x,y \geq 1.$

==================================================

2^s  = 3^t + 13   

256 * ( 2^x - 1 ) = 243 * ( 3^y - 1)

jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2  243
243   162 = 2 * 3^4
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 256
256    64 = 2^6
jagy@phobeusjunior:~$ 
jagy@phobeusjunior:~$
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2  729
729   486 = 2 * 3^5
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 512
512   128 = 2^7
jagy@phobeusjunior:~$ 

========================================================
Given: 162 | x ,      64 | y
WANT   243 | x     OR   128 | y
========================================================
256 * ( 2^x - 1 ) = 243 * ( 3^y - 1)

jagy@phobeusjunior:~$ ./prime_power_minus_one 2 162
    2^162 - 1    = 3^5 7 19 73 163 2593 71119 87211 135433 262657  cdot mbox{BIG}

jagy@phobeusjunior:~$ ./prime_power_minus_one 3 64
    3^64 - 1    = 2^8 5 17 41 193  cdot mbox{BIG} 

Use 193:  2^x == 1 mod 193   ==> 96 | x
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2 193
193    96 = 2^5 * 3
jagy@phobeusjunior:~$ ./prime_power_minus_one 2 96
    2^96 - 1    = 3^2 5 7 13 17 97 193 241 257 673 65537  22253377

Use 257: 3^y == 1 mod 257 ==> 256 | y
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 257
257   256 = 2^8
jagy@phobeusjunior:~$ ./prime_power_minus_one 3 256
    3^256 - 1    = 2^10 5 17 41 193 257 275201  cdot mbox{BIG}

1024 | ( 3^y - 1) contradicts
256 * ( 2^x - 1 ) = 243 * ( 3^y - 1)
with x, y >= 1.


jagy@phobeusjunior:~$ ./order_mult 2 243
487   243 = 3^5
1459   486 = 2 * 3^5
2917   972 = 2^2 * 3^5
4861   972 = 2^2 * 3^5
8263  4131 = 3^5 * 17
12637 12636 = 2^2 * 3^5 * 13
17011 17010 = 2 * 3^5 * 5 * 7

jagy@phobeusjunior:~$ ./order_mult 3 128
257   256 = 2^8
641   640 = 2^7 * 5
1409  1408 = 2^7 * 11
3329  3328 = 2^8 * 13
4481  4480 = 2^7 * 5 * 7
7681   640 = 2^7 * 5
7937  7936 = 2^8 * 31
9473  9472 = 2^8 * 37
9857   896 = 2^7 * 7
10753  2688 = 2^7 * 3 * 7

===================================================

Answer 5

El miércoles a la mañana, 28 de septiembre de 2016.

Encuentra un dos-primer cadena que demuestra $$ 3^s + 5 = 2^t. $$ Part of the improvement was checking the orders of the possible primes in the first step, those being $7,19,73.$ Another improvement was simply to keep the exponents as is, not pull out prime factors. $6481$ divides $3^{72} - 1$ but does not divide $3^{36} - 1.$ It does divide $3^{24} - 1$ but not $3^{12} - 1$ or $3^{8} - 1.$

Los primos de usa: $$ 19, 6481 $$

========================================

3^s + 5 = 2^t   

27 * ( 3^x - 1 ) = 32 * ( 2^y - 1)

jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 32
32     8 = 2^3
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2 27
27    18 = 2 * 3^2
jagy@phobeusjunior:~$ 
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 64
64    16 = 2^4
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2 81
81    54 = 2 * 3^3
jagy@phobeusjunior:~$
========================================================
Given: 8 | x ,      18 | y
WANT    16 | x     OR   54 | y
========================================================
jagy@phobeusjunior:~$ ./prime_power_minus_one 2 18
    2^18 - 1    = 3^3 7 19  73

jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 7
7     6 = 2 * 3
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 19
19    18 = 2 * 3^2    NOTICE how this one gives an extra 3 factor!
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 73
73    12 = 2^2 * 3

use 19:   9 | x ==>  72 | x

    3^72 - 1    = 2^5 5 7 13 19 37 41 73 757 6481 530713  282429005041


jagy@phobeusjunior:~$ 
jagy@phobeusjunior:~$  ./order_mult 2 81
163   162 = 2 * 3^4
487   243 = 3^5
1297   648 = 2^3 * 3^4
1459   486 = 2 * 3^5
1621  1620 = 2^2 * 3^4 * 5
1783   891 = 3^4 * 11
2269  2268 = 2^2 * 3^4 * 7
2593    81 = 3^4
2917   972 = 2^2 * 3^5
3079  1539 = 3^4 * 19
3727  1863 = 3^4 * 23
3889   648 = 2^3 * 3^4
4861   972 = 2^2 * 3^5
5023  2511 = 3^4 * 31
6481   810 = 2 * 3^4 * 5   *************** HOORAY *****
7129  1782 = 2 * 3^4 * 11
8263  4131 = 3^5 * 17
9397  9396 = 2^2 * 3^4 * 29
9721   810 = 2 * 3^4 * 5


6481   810 = 2 * 3^4 * 5

use 6481:

jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2 6481
6481   810 = 2 * 3^4 * 5

   810 | y  ==>  54 | y

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