La dependencia de la vuelta en el clásico vs no-física clásica?

Question

Libro de texto derivaciones a menudo el estado de spin se puede derivar mediante la adición de la relatividad de la mecánica cuántica. El argumento general viene en varios pasos :

1. Schrödinger primer tratado de describir las partículas cuánticas por cuantización $E^2 = p^2 + m^2$, lo que conduce a la de Klein-Gordon ecuación (KGE). La densidad asociados a las soluciones de KGE puede ser negativo, lo cual es problemático si la densidad es interpretado como una densidad de probabilidad. En última instancia, Schrödinger cayó el relativista de la restricción y la derivada de su ecuación uso de semi-clásica de aproximaciones a la de Hamilton-Jacobi ecuación.
2. Pauli de forma heurística modificada de la ecuación de Schrödinger para dar cuenta de spin, que conduce a la denominada ecuación de Pauli
3. Dirac entendido de que el tratamiento del tiempo y el espacio en las mismas condiciones es la única restricción de que uno debe imponer en un campo de ecuación, incluso si ello conlleva el uso de los operadores como de los coeficientes. Alineando KGE, obtuvo la ecuación de Dirac. Interpretación de las soluciones de la ecuación como funciones de onda cuántica permite explicar vuelta, pero también conduce a la energía negativa de los estados.
4. La imposición de anti-relaciones de conmutación en la solución a la ecuación de Dirac, y por lo tanto, promover en el campo, resuelve las energías negativas problema.

La conclusión de estos pasos es generalmente que el spin es derivada por ir a un relativista configuración.

Sin embargo, sabemos ya que la obra de Lévy-Leblond que esto no es cierto. De hecho, si queremos interpretar representaciones irreducibles de la Galilei grupo de estados de spin, la ecuación de onda obtenida mediante la imposición de Galilei invariancia es la ecuación de Schrödinger. Pero este no es el único invariante de la ecuación se puede derivar ! La factorización de la ecuación de Schrödinger para tener una ecuación lineal de primer orden con tiempo y espacio de los derivados conduce a un no-relativista de la ecuación que describe las partículas de espín 1/2, que es exactamente la ecuación de Pauli, y el no-límite relativista de la ecuación de Dirac ! La ecuación de Schrödinger puede ser visto como una exacta de la ecuación de evolución para spin 0 no-relativista partículas o como una aproximación de la evolución de todos los no-relativista cuántica de las partículas cuando descuidar la vuelta.

Por lo tanto, la conclusión es que el spin (especialmente espín 1/2) proviene de la imposición de una relación lineal en el tiempo y el espacio de los derivados.

Mi pregunta va a empezar por aquí :

1. Me equivoco al pensar que el giro no tiene nada que ver con la relatividad ni la mecánica cuántica ? Se puede definir ecuaciones lineales para el clásico de los campos, llevando a spinor soluciones, que pueden ser no-relativista.
2. Sabemos que la ecuación del calor está relacionada con la de Schrödinger, una por una Mecha de rotación. ¿Cuál es el equivalente de un Mecha-girado Pauli o ecuación de Dirac ? Por supuesto, se espera que sea un ámbito clásico de la ecuación de restricción de la evolución de las variables macroscópicas de un sistema termodinámico, pero ¿cuál ?
3. Hay una noción de giro conectado a la clásica campo de los modos de resolución de la ecuación anterior ? ¿Cómo podemos probar un spin 1/2 propiedad en tal caso ?
4. Hay una relación profunda entre alineando una ecuación y la Mecha de la rotación ? Ambos de alguna manera corresponden a la toma de la "raíz cuadrada de la geometría", utilizando respectivamente espacio derivado de la orden de reducción y complejo a la vez.

Gracias de antemano por su ayuda !

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero mi idea sobre el tema. Pauli-Matrizes (SU(2)) obedecen a las mismas relaciones de conmutación como espacio de rotaciones (SO(3)). Esto es debido a que SU(2) es la universalización de la cobertura de SO(3). Cuando el uso de representaciones irreducibles de un grupo esencial de tirar la específica estructura de grupo y restringir el mismo a el colector solo la estructura. Es decir, estas representaciones son las de la universalización de la cobertura. Esto está bien para la física, debido a que nuestras teorías son teorías locales y la estructura local de la ex grupo es el mismo que el de la universalización de la cobertura.

Ahora viene el punto clave. SO(3) es un subgrupo de la Galilea grupo y el grupo de Poincaré. Así que cuando se utiliza la cobertura universal / conmutador estructura, tanto de ellos conduce a SU(2), y por lo tanto girar, siendo parte de la universalización de la estructura de la cubierta.

El espín es una generalización de espacio-rotaciones y, como tal, "parte" de la irreductible representaciones de la Galilea grupo y el grupo de Poincaré.

No tengo ni idea de que la Mecha de la rotación de una parte de su pregunta, sin embargo.

Answer 2

Este es un intento de responder a la OP de la Pregunta 4, en la luz de:

a) @ACuriousMind el comentario sobre la vaguedad de Issam de la Pregunta 4 (arriba)

b) Michael Atiyah famoso (si algo gnomónicos) declaración sobre spinors y "la raíz cuadrada de la geometría" (ver, por ejemplo, JamalS la respuesta a physics.stackexchange.com/questions/141995/how-should-i-think-about-the-dirac-equation)

y

c) la ausencia, hasta ahora, de una aclaración de su P. 4 de Issam a sí mismo:

Tal vez Issam es simplemente el uso de lenguaje natural, más bien flojos. Vamos a examinar más de cerca...

Podría "linealización" en Q. 4 se refieren principalmente a Dirac del desarrollo de su ecuación de obligar a que en el primer fin de w.r.t. el espacio y el tiempo, lo que resulta en spinor soluciones, y quizás de manera más general a 'Dirac de los Operadores? Si es así, entonces justo lo suficiente.

Para la Mecha de Rotación, por otro lado, P. 4 podría estar refiriéndose a la medida de distancia ds en el espacio de Minkowski como "linearised" tomando la raíz cuadrada de (dt^2+dx^2+dy^2+dz^2) cuando se convierte en un Euclidiana formulario de configuración de ti = τ (multiplicación por el complejo i actúa como una rotación, por lo tanto la Mecha de Rotación). Mientras que uno podría describir esa métrica/expresión de una forma cuadrática, muy vagamente, como "linearised" (aunque el componente individual términos son todavía cuadrado, y no hay ninguna correspondencia con el término de Linealización como se define en la Wikipedia) sin embargo, la nula cono en el espacio de Minkowski puede ser parametrizada por spinors. Relatedly: physics.stackexchange.com/questions/21261/wick-rotation-and-spinorsno arrojar ninguna luz sobre la linealización.

Así spinors hacer aparecer a proporcionar al menos un sueltas, incluso sugerente, enlace entre la Mecha de la Rotación y de Issam el uso de Linealización.

Nota en particular de que se afirma a menudo que spinors sólo puede existir en un colector de admisión null vectores (por ejemplo, octava entrada en www.physicsforums.com/threads/how-do-spinors-fit-in-with-differential-geometry.798348/ ).

Claramente, hay una nula de cono en el espacio de Minkowski describir las trayectorias de partículas de cero resto de masa, como visualizadas por ejemplo, por Penrose conocidas del mástil+bandera de la representación de un spin-1) de fotones ruta de acceso en el null-cono, como se muestra en Misner, Thorne Y Wheeler definitiva de la Gravitación (1973). (Nota también de que ahora estamos hablando de spinors como descriptores de la física en lugar de las matemáticas admitir spinors.)

Pero, ¿cómo es que (spin½) fermiones, que no de cero en el resto de masa y por lo tanto no es libre para moverse en el null-cono en el c-velocidad (por lo que debe tomar el tiempo-como trayectorias en el espacio de Minkowski, estrictamente dentro del cono de luz) son descritos por spinorial las funciones de onda (funciones de la misma el espacio y el tiempo descrito por espacio de Minkowski)?

Son el fermión-spinor componentes de forma individual en el null cono, pero en conjunto, se refieren a la luz-como caminos? Esto recuerda de Schrödinger zitterbewegung interpretación, la participación de los electrones en movimiento, hipotéticamente, en c-velocidad.

O, es el fermión de la función de onda de un spinor en algún otro espacio, el espacio de Hilbert de fermión funciones de onda, un spinor espacio (o para decirlo de otra manera: ¿En qué espacio se fermión spinors null)?

En respuesta a la Pregunta 4, solo, entonces: Spinors puede relacionar la linealización de al menos algunas de las ecuaciones y la Mecha de la Rotación, pero va a tomar alguien más experto para decir si hay una verdad profunda relación.

Espero que esto ayuda a estimular la discusión sobre los fundamentos de la tirada, descripciones, y sus orígenes.